Tema 5: Vectors en el pla

Conceptes

Definició

Un vector és un segment en el pla que determina una direcció, una mòdul o magnitud i un sentit. La direcció ve determinada per la recta sobre la qual es troba el vector, la magnitud és la llargada d'aquest vector i el sentit és, per entendre'ns, la punta de la fletxa del vector.

Components cartesianes d'un vector

Donats dos punts $A=(a_1,a_2)$ i $B=(b_1,b_2)$ en el pla definim el vector $\overrightarrow{AB}$ com el segment que té origen en $A$ i final en $B$, tal i com hem vist a la figura anterior. Les coordenades del vector les calculem de la manera següent:

$$\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2)$$

El mòdul o llargada del vector,$|\overrightarrow{AB}|$, el calculem aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle que defineix:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}$$

Vectors equipol.lents. Vector lliure.

Dos vectors són equipol.lents si tenen la mateixa direcció, mòdul i sentit. En definitiva, si tenen les mateixes coordenades. A la pràctica, els vectors equipol.lents són paral.lels en el pla i podem passar de l'un a l'altre amb un senzill moviment de translació.

Exemple 1

Considera els punts en el pla $A(2,4)$, $B(13,7)$, $C(1,2)$ i $D(12,5)$. Dibuixa els vectors $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{CD}$ i demostra que són equipol.lents.

Anem a calcular les components d'aquests vectors abans de dibuixar-los:

$$\begin{align} \overrightarrow{AB} &=(13-2,7-4)=(11,3)\\ \overrightarrow{CD} &=(12-1,5-2)=(11,3) \end{align}$$

Veiem que tenen les mateixes components.

Cada conjunt de vectors equipol.lents representen un sol vector anomenat vector lliure.

Els vectors lliures normalment es representen amb origen el punt $O(0,0)$ i extrem les coordenades del vector.

Operacions amb vectors

Suma

Siguin $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)$ i $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$, per sumar algebraicament dos vectors només cal que sumem les components dos a dos:

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(u_1+v_1,u_2+v_2)$$

Si els sumem gràficament en el pla, aplicarem la regla de paral.lelogram per trobar gràficament el vector suma: es tracta de posar els dos vectors amb el mateix origen (típicament el punt $(0,0)$) i traçar rectes paral.leles als vectors. La diagonal del paral.lelogram que es forma és el vector suma.

La suma de vectors té les propietats següents:

1. Associativa: $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$
2. Commutativa: $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$
3. Element neutre: $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{u}$ on $\overrightarrow{0}=(0,0)$
4. Element oposat: $\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$

Resta

Donats $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)$ i $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$, per restar-los algebraicament només cal que restem les components dos a dos:

$$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(u_1-v_1,u_2-v_2)$$

Gràficament, el vector resta consisteix en el vector que s'obté unint l'extrem del primer vector amb el del segon vector.

Producte d'un nombre real per un vector

Per multiplicar un nombre real $k$ per un vector només cal multiplicar les components per aquest nombre real:

$$k\cdot \overrightarrow{u}=(k \cdot u_1,k \cdot u_2)$$

Producte escalar

El producte escalar entre dos vectors és un nombre real i es defineix com:

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|\cdot|\overrightarrow{v}|\cdot cos \alpha$$

on $|\overrightarrow{u}|$ i $|\overrightarrow{v}|$ són els mòduls dels vectors i $\alpha$ l'angle que formen entre ells.

Més endavant demostrarem que el producte escalar de dos vectors també es pot expressar com:

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2$$

Ja veiem que si dos vectors són perpendiculars (o ortogonals) ($\alpha=90^0$) el seu producte escalar serà $0$ i si són paral.lels ($\alpha=0^0$) el seu producte escalar serà màxim i serà igual al producte dels seus mòduls.

El producte escalar té les propietats següents:

1. Commutativa: $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}= \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}$
2. Associativa: $\lambda \cdot (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})= (\lambda \cdot \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v}= \overrightarrow{u} \cdot (\lambda \cdot \overrightarrow{v})$
3. Distributiva respecte la suma: $\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$

Projecció d'un vector sobre un altre

A vegades ens pot interessar calcular la projecció d'un vector sobre un altre o el que és el mateix, donats dos vectors, buscar quina part d'un d'ells està en la mateixa direcció de l'altre. Fixeu-vos en la construcció següent:

Si considerem el triangle rectangle $ABD$, el cosinus de l'angle $\alpha$ es calcula segons:

$$cos \alpha=\frac{AD}{|\overrightarrow{u}|} \Rightarrow AD=cos \alpha \cdot |\overrightarrow{u}|$$

També sabem que:

$$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}= |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot cos \alpha$$

Per tant, ajuntant les dues expressions tenim que:

$$AD=\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}$$

El segment $AD$ és la projecció del vector $\overrightarrow{u}$ sobre el vector $\overrightarrow{v}$, $proj_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{u})$, per tant:

$$proj_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{u})=\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}$$

Combinació lineal entre vectors

Donat un vector $\overrightarrow{u}$, si el multipliquem per un nombre real $\lambda$ obtenim una combinació lineal d'aquest vector: $\lambda \cdot \overrightarrow{u}$. Veiem també que necessàriament el vector i la combinació lineal han de ser paral.lels perquè si no, no podríem expressar un com l'altre multiplicat per un nombre.

Per tant, si $\lambda$ i $\mu$ són nombres reals:

$\lambda \cdot \overrightarrow{u}+ \mu \cdot \overrightarrow{v}$ és una combinació lineal dels vectors $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$

Vectors linealment independents i dependents

Tenint en compte el que hem vist a dalt, diem que:

1. Dos vectors que tenen la mateixa direcció diem que són linealment dependents i si tenen diferent direcció són linealment independents.
2. Donat un conjunt de vectors, són linealment dependents si algun és combinació lineal dels altres i són linealment independents si cap es pot expressar com a combinació lineal dels vectors restants.

Exemple 2

Donats els vectors $\overrightarrow{u}=(2,5)$, $\overrightarrow{v}=(0,3)$ i $\overrightarrow{w}=(-1,1)$ són linealment dependents?

Per comprovar-ho hem de trobar dos nombres $\lambda$ i $\mu$ que compleixin: $\overrightarrow{u}=\lambda \cdot\overrightarrow{v}+\mu \cdot \overrightarrow{w}$: Això és el mateix que dir que

$$(2,5)=\lambda (0,3)+ \mu (-1,1) \begin{cases} 2 = \lambda \cdot 0- \mu \rightarrow \mu=-2 \\ 5=\lambda \cdot 3 + \mu \rightarrow \lambda = \frac{7}{3} \end{cases}$$

Veiem que sí que són linealment dependents, perquè podem expressar $\overrightarrow{u}$ com a combinació lineal dels altres dos:

$$\overrightarrow{u}=\frac{7}{3} \overrightarrow{v}-2\overrightarrow{w}$$

Bases en el pla

Donats dos vectors linealment independents, anem a veure que qualsevol altre vector es pot expressar com a combinació lineal d'ells dos. Considerem els vectors $\overrightarrow{c}$ i $\overrightarrow{d}$, linealment independents. Anem a veure si podem expressar el vector $\overrightarrow{w}$ com a combinació lineal d'ells dos. Per fer-ho, els posem tots 3 amb origen comú. Prolonguem les rectes que contenen els vectors $\overrightarrow{c}$ i $\overrightarrow{d}$ fins a obtenir els vectors $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$ i tracem un paral.lelogram com el de la figura:

D'altra banda, donada la construcció podem afirmar que:

$$\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$$

També veiem que el vector $\overrightarrow{u}$ és paral.lel al vector $\overrightarrow{c}$ i que el vector $\overrightarrow{v}$ ho és del vector $\overrightarrow{d}$. Això és el mateix que dir que el vector $\overrightarrow{c}$ és combinació lineal del vector $\overrightarrow{u}$ i el vector $\overrightarrow{d}$ ho és del vector $\overrightarrow{v}$:

$$\begin{align} \overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{c} \\ \overrightarrow{v}=\mu \overrightarrow{d} \end{align}$$

Si substituïm aquestes expressions a l'expressió de la suma de vectors trobada anteriorment veiem que:

$$\overrightarrow{w}=\lambda \overrightarrow{c}+\mu \overrightarrow{d}$$

o el que és el mateix:

Donats dos vectors $\overrightarrow{c}$ i $\overrightarrow{d}$ linealment independents, qualsevol altre vector es pot expressar com a combinació lineal d'ells dos, i aquesta combinació lineal és única. Els vectors $\overrightarrow{c}$ i $\overrightarrow{d}$ formen una base del conjunt de vectors del pla: $B=\{\overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}\}$

Base ortogonal, ortonormal i canònica

Quan dos vectors són perpendiculars entre ells diem que formen una base ortogonal i si a més tenen mòdul 1, són una base ortonormal.

La base ortonormal més coneguda és la formada pels vectors $\overrightarrow{i}=(1,0)$ i $\overrightarrow{j}=(0,1)$. Aquesta base també s'anomena base canònica.

Propietats

1. Són vectors unitaris $|\overrightarrow{i}|=|\overrightarrow{j}|=1$
2. Són perpendiculars
3. La seva direcció és la mateixa que la dels eixos de coordenades

Qualsevol vector es pot expressar doncs com a combinació lineal dels vectors de la base canònica: per exemple el vector $\overrightarrow{u}=(3,6)=3(1,0)+6(0,1)=3\overrightarrow{i}+6\overrightarrow{j}$.

Canvis de base

Evidentment que un vector expressat en una base es pot expressar en una altra base. Normalment quan donem les coordenades d'un vector el que fem és donar-les en la base canònica. Anem a veure un exemple de canvi de base.

Exemple 3

Expressa el vector $\overrightarrow{u}=(4,5)$ en la base $B=\{(1,2), (3,-1)\}$.

Per fer-ho, hem de resoldre l'equació:

$$(4,5)=\lambda (1,2)+ \mu (3,-1) \begin{cases} 4 = \lambda +3 \mu \rightarrow ... \rightarrow \lambda=\frac{19}{7} \\ 5=2\lambda - \mu \rightarrow ... \rightarrow \mu = \frac{3}{7} \end{cases}$$

Per tant, les components del vector $\overrightarrow{u}=(4,5)$ en la base $B=\{(1,2), (3,-1)\}$ són $\overrightarrow{u}_B=(\frac{19}{7}, \frac{3}{7})$.

Aplicacions geomètriques

Càlcul del punt mig d'un segment

Donat un segment $\bar{AB}$ qualsevol. Considerem els punts $A(a_1,a_2)$ i $B(b_1,b_2)$. Ens agradaria trobar les coordenades del punt mig $M(x,y)$. Per fer-ho, considerem els vectors $\overrightarrow{AM}=(x-a_1,y-a_2)$ i $\overrightarrow{MB}=(b_1-x,b_2-y)$:

Són vectors equipol.lents perquè tenen el mateix mòdul (la meitat del segment $\bar{AB}$), la mateixa direcció i el mateix sentit. Per tant, es compleix que:

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB} \begin{cases} x-a_1=b_1-x \rightarrow x=\frac{a_1+b_1}{2} \\ y-a_2=b_2-y \rightarrow y=\frac{a_2+b_2}{2} \end{cases}$$

Per tant, les coordenades del punt mig d'un segment seran: $M(\frac{a_1+b_1}{2},\frac{a_2+b_2}{2})$.

Comprovació si 3 punts estan alineats

Donats 3 punts qualsevol $A(a_1,a_2)$, $B(b_1,b_2)$ i $C(c_1,c_2)$ seran alineals si els vectors $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$ són linealment dependents, o el que és el mateix, estan sobre la mateixa recta. Per tant, hem de trobar un nombre real $k$ que compleixi: $\overrightarrow{AB}=k \cdot {AC}$.

Exemple 4

Comprova si els punts $A(2,5)$, $B(-1,0)$ i $C(2,8)$ estan alineats.

$$\begin{align} \overrightarrow{AB}&=(-1-2,0-5)=(-3,-5) \\ \overrightarrow{AC}&=(2-2,8-5)=(0,3)\\ \overrightarrow{AB}&=k\overrightarrow{AC}\rightarrow (-3,-5)=k(0,3) \begin{cases} -3=0 \\ -5=k\cdot 3 \end{cases} \end{align}$$

Ja veiem que obtenim un sistema incompatible i per tant, no hi a cap valor de $k$ pel qual els vectors $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$ siguin linealment dependents. Per tant, els 3 punts no estan alineats.

Càlcul del baricentre d'un triangle

Volem calcular les coordenades del baricentre d'un triangle. El baricentre és el punt on es creuen les mitjanes d'un triangle. Les mitjanes recordem que són els segments que uneixen el punt mig d'un costat amb el vèrtex oposat. Una propietat del baricentre que cal saber, és divideix la mitjana en 2 segments el qual un és el doble de llarg que l'altre:

Per trobar les coordenades del baricentre $G(x,y)$ haurem d'aplicar el que hem après en les dues aplicacions anteriors:

1. Caldrà trobar les coordenades del punt mig d'un dels costats, per exemple del costat $\bar{AB}$ i que en el dibuix apareix amb la lletra $D$
2. Caldrà trobar les coordenades el punt $G$ sabent que el vector $\overrightarrow{GC}$ és el doble de llarg que el vector $\overrightarrow{DG}$.

Exemple 5

Troba les coordenades del baricentre del triangle de vèrtexs $A(-3,-2)$, $B(4,7)$ i $C(8,4)$.

Anem a calcular primer les coordenades del punt mig del costat $\bar{AB}$, diem-li $D$:

$$D=(\frac{-3+4}{2},\frac{-2+7}{2})=(\frac{1}{2},\frac{5}{2})$$

Anem a calcular ara les coordenades dels vectors $\overrightarrow{DG}$ i $\overrightarrow{GC}$:

$$\begin{align} \overrightarrow{DG}&=(x-\frac{1}{2},y-\frac{5}{2})\\ \overrightarrow{GC}&=(8-x,4-y) \end{align}$$

Sabem que es compleix:

$$\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{DG} \rightarrow (8-x,4-y)=2(x-\frac{1}{2},y-\frac{5}{2})\rightarrow ...\rightarrow x=3; y=3$$

Per tant, les coordenades del baricentre són $G(3,3)$.