Tema 2: Trigonometria

Raons trigonomètriques

L'any passat vau veure com es definien les raons trigonomètriques d'un angle agut a partir d'un triangle rectangle.

fig2.1

En el triangle rectangle que veiem, les raons trigonomètriques de l'angle α (vèrtex A) són les següents:

Raó magnitud
sinα ab
cosα cd
tgα ac

A partir d'aquestes 3 raons trigonomètriques se'n poden definir unes altres 3, encara que són menys utilitzades. La secant, la cosecant i la cotangent:

Raó Definició
secα 1cosα
cosecα 1sinα
cotα 1tgα=cosαsinα

Raons de 30º, 45º, 60º, 90º i 180º graus

Aquests 4 angles surten molt sovint en diferents càlculs i és per això que és bo de recordar les seves raons trigonomètriques. Les podeu veure escrites a la taula següent:

Raó 30o 45o 60o 90o 180o
sin 12 22 32 1 0
cos 32 22 12 0 1
tg 33 1 3 0

Hi ha una regla mnemotècnica per recordar les raons de 30, 45 i 60 graus. Si ens fixem en la part de la taula que conté aquests valors, només cal per la fila del sinus escriure 1, 2 3 en aquest ordre. Llavors prenem l'arrel d'aquests valors (i recordem que 1=1). Finalment dividim el resultat per 2 i ja tenim els sinus. Pel que fa els cosinus, escrivim 3, 2, 1per 30, 45 i 60 graus respectivament. Després repetim l'operació anterior. Ja tenim els cosinus. Per les tangents, és la divisió del sinus entre el cosinus.

La circumferència unitat

Construïm una circumferència de radi 1 tal i com podem veure a la figura. Definim un punt P(x,y) sobre la circumferència. Aquest punt defineix un angle α en el primer quadrant. Dibuixem també els triangles OPQ i OPQ:

Anem a veure quines són les raons trigonomètriques de l'angle α:

sinα=PQOP=y1=y

cosα=OQOP=x1=x

Per la tangent d'α veiem que els triangles OQP i OQP estan en posició de Tales, per tant, són semblants i els seus costats són proporcionals. Així doncs, es compleix:

tgα=PQOQ=PQOQ

i del gràfic deduïm PQ=y, OQ=x i OQ=1. Per tant:

tgα=xy=PQ

La tangent és gràficament la longitud del segment tangent a la circumferència des de P fins a Q.

Aquesta circumferència ens permet també determinar el signe dels sinus i cosinus dels angles de qualsevol quadrant:

*Signe raons trigonomètriques*

Per tant, l'angle 0o que està en el primer quadrant, té cosinus màxim (1) i sinus 0. A mida que ens movem en la direcció contrària a les agulles del rellotge, el cosinus disminueix i el sinus augmenta. En arribar a l'angle de 90o, el sinus és màxim (1) i el cosinus esdevé llavors 0.

Una altra cosa que podem aprendre de la circumferència és la relació entre sinus i cosinus d'un angle qualsevol. Sabem que l'equació d'una circumferència és x2+y2=R2, on R és el radi de la circumferència. Si ho traduïm al nostre exemple (sinα=x, cosα=y i R=1) obtenim:

sin2α+cos2α=1

La circumferència unitat també ens permet determinar els sinus i cosinus dels angles 0o, 90o, 180o i 270o amb facilitat.

Reducció al primer quadrant

Qualsevol angle sobre la circumferència unitat es pot relacionar amb un angle del primer quadrant.

  1. Segon quadrant

    Un angle del segon quadrant sempre es pot expressar com 180oα on α és un angle del 1r quadrant. Per tant:

    sin(180oα)=sinα

    cos(180oα)=cosα

    *Angle segon quadrant*

    Exemple 1

    Dóna les raons trigonomètriques de l'angle 150o relacionant-ho amb un angle del primer quadrant.

    Sabem que: 150o=180o30o per tant:

    sin(150o)=sin(30o)=12

    cos(150o)=cos(30o)=32

  2. Tercer quadrant

    Un angle del segon tercer sempre es pot expressar com 180o+α on α és un angle del 1r quadrant. Per tant:

    sin(180o+α)=sinα

    cos(180o+α)=cosα

    *Angle tercer quadrant*

  3. Quart quadrant

    Un angle del quart quadrant sempre es pot expressar com 360oα on α és un angle del 1r quadrant. Per tant:

    sin(360oα)=sinα

    cos(360oα)=cosα

    *Angle quart quadrant*

Raons trigonomètriques d'angles complementaris

Dos angles α i β són complementaris si sumats donen l'angle recte: si α+β=90o. Del dibuix següent és fàcil deduir quina relació hi ha entre les seves raons trigonomètriques:

sinα=cosβ

cosα=sinβ

*Angles complementaris*

Raons trigonomètriques de l'angle suma i l'angle diferència

A vegades ens pot interessar saber les raons trigonomètriques d'una suma d'angles (α+β) expressades en funció de les raons trigonomètriques dels angles sumands. A continuació us donem les fòrmules que ho expressen. En aquestes línies no demostrarem les identitats, però si teniu curiositat, ho podeu trobar aquí.

  1. sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
  2. sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ
  3. cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ
  4. cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ

Sinus i cosinus de l'angle doble

A partir de les fòrmules anteriors puc calcular les fòrmules de l'angle doble. Si vull calcular les raons de l'angle 2α és el mateix que les fòrmules de l'angle suma substituïnt α+β per α+α=2α:

sin(2α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα

cos(2α)=cosαcosαsinαsinα=cos2αsin2α

Exemple 2

A partir de les fòrmules anteriors,comprova que les raons trigonomètriques de l'angle 90o són sin90 i cos90 a partir de les raons trigonomètriques de 45o.

sin90=2sin45cos45=22222=1

cos90=cos245sin245=(22)2(22)2=0

Sinus i cosinus de l'angle meitat

Per trobar les fòrmules de l'angle meitat hem de partir de l'equació del cosinus de l'angle doble però substituïnt a tot arreu, α per α2. Llavors obtenim el següent:

cosα=cos2α2sin2α2

D'altra banda també sabem que qualsevol angle compleix que la suma dels quadrats del seu sinus i del seu cosinus és 1. Això aplicat a l'angle meitat i girant l'equació ens dóna:

1=sin2α2+cos2α2

Si sumem aquestes dues equacions obtenim:

1+cosα=2cos2α2

I si aïllem cos2α2:

cosα2=±1+cosα2

El signe dependrà del quadrant el qual pertanyi l'angle.

Per obtenir el sinus de l'angle meitat només cal restar enlloc de sumar les equacions inicials:

1cosα=2sin2α2

I si aïllem sin2α2:

sinα2=±1cosα2

Exemple 3

Calculeu les raons trigonomètriques de 15o a partir de les de l'angle 30o.

sin15=1cos302=1322=...=232

cos15=1+cos302=1+322=...=2+32

Transformació de sumes en productes

A vegades ens pot interessar expressar les sumes de raons trigonomètriques de dos angles qualsevol en productes. Anem a deduir aquestes fórmules.

Considerem les fórmules del sinus de la suma i de la diferència d'angles escrites anteriorment. Anem a sumar aquestes fórmules i també a restar-les. Obtenim, respectivament:

sin(α+β)+sin(αβ)=2sinαcosβsin(α+β)sin(αβ)=2cosαsinβ

Fem el mateix amb les fórmules del cosinus de la suma i de la diferència d'angles:

cos(α+β)+cos(αβ)=2cosαcosβcos(α+β)cos(αβ)=2sinαsinβ

Ara proposem un canvi de base en aquestes equacions. Anomenem:

α+β=Aα=A+B2αβ=Bβ=AB2

Substituïm α i β pels seus respectius valors a les 4 equacions de dalt i obtenim:

sinA+sinB=2sin(A+B2)cos(AB2)sinAsinB=2cos(A+B2)sin(AB2)cosA+cosB=2cos(A+B2)cos(AB2)cosAcosB=2sin(A+B2)sin(AB2)

Exemple 4

Calcula el valor exacte de sin105osin15o.

Per fer-ho apliquem la fórmula de la diferència de sinus de dos angles A i B qualssevol. Obtenim:

sin105osin15o=2cos(105o+15o2)sin(105o15o2)=2cos60osin45o=21222=22

Teoremes del cosinus i del sinus

Teorema del cosinus

Considerem el triangle següent:

*Teorema del cosinus*

Apliquem el Teorema de Pitàgores al triangle rectangle de la dreta:

a2=e2+f2e2=a2f2

L'apliquem també al triangle rectangle de l'esquerra:

c2=e2+(bf)2c2=e2+b2+f22bf

Si substituïm el valor de e de la primera equació a la segona:

c2=a2f2+b2+f22bfc2=a2+b22bf

Finalment expressem f=acosC i tenim:

c2=a2+b22abcosC

"El quadrat d'un costat és la suma dels quadrats dels altres dos costats menys dues vegades el producte dels altres costats per el cosinus de l'angle que formen".

Teorema del sinus

Considerem el triangle següent:

*Teorema del sinus*

Podem afirmar que:

{h=bsinAh=asinB

i d'aquí se'n dedueix:

bsinA=asinBbsinB=asinA

si fem el mateix amb h obtenim:

{h=asinCh=csinA

i d'aquí se'n dedueix:

asinC=csinAasinA=csinC

Per tant, ja tenim el teorema del sinus:

asinA=bsinB=csinC

"Els quocients entre qualsevol costat d'un triangle i el sinus del seu angle oposat són iguals".