Tema 10: Límits i continuïtat de funcions
En aquest tema estudiarem en detall la continuïtat d'una funció i també què passa en els punts que aquesta és discontínua. Ho farem utilitzant el concepte de límit que ja vam començar a treballar amb les successions. D'altra banda, ens fixarem també què passa quan la variable es fa molt petita (x→−∞) i quan aquesta es fa molt gran (x→+∞).
Concepte de límit d'una funció en un punt
En el tema de successions, teníem que sempre calculàvem el límit d'una successió an quan n→+∞. I ens trobàvem amb 3 casos:
liman=L{+∞−∞ nombre real
En aquest tema traslladarem el concepte de límit a les funcions. Si tenim una funció f(x) podem plantejar-nos 3 coses:
- Què passa quan x→−∞
- Què passa quan x→+∞
- Què passa quan x→a on a∈R
Interpretació gràfica
A través d'un exemple molt senzill veurem què vol dir gràficament el límit d'una funció en un punt.
Exemple 1
Considerem la funció y=f(x)=2x+1. El domini d'aquesta funció són tots els nombres reals. Volem calcular quin és el límit d'aquesta funció quan x s'acosta a 2. Com que el domini d'aquesta funció són tots els nombres reals, el 2 tindrà imatge, de fet, f(2)=2⋅2+1=5. Considerem ara un petit entorn de 2 que l'anomenem A i mirarem que passa amb les imatges d'aquest entorn. A sota podeu veure'n una representació gràfica.
Veiem que si les x estan en un entorn A amb punt central x=2 les imatges d'aquest entorn estan en un entorn de centre y=5 i radi r, això és, en un interval (5−r,5+r). Si fem aquest entorn de x=2 cada vegada més petit, podem veure que les imatges cada vegada s'acosten més a 5. D'aquesta manera podem afirmar que:
limx→2f(x)=limx→2(2x+1)=5
Això, expressat en un altre llenguatge, és:
limx→2f(x)=5⇔∃ un entorn A| si x∈A , x≠2⇒f(x)∈(5−r,5+r)
Definició de límit d'una funció en un punt
Anem a definir més rigorosament el límit d'una funció en un punt:
limx→af(x)=L⇔∀ entorn (L−r,L+r) en l'eix y ∃ un entorn A d' a en l'eix x| si x∈A , x≠a⇒f(x)∈(L−r,L+r)
Límits laterals
Quan parlem del límit d'una funció en un punt, també podem considerar-ne els límits laterals, què passa amb la funció quan ens acostem al punt per l'esquerra i què passa amb la funció quan ens acostem al punt per la dreta.
Per estudiar això fixem-nos amb la funció terra : y=f(x)=floor(x), que representem a continuació. Aquesta funció assigna a cada nombre real x el nombre enter k que compleix: k≤x.
Si estudiem què passa quan ens acostem a x=1 per l'esquerra (valors més petits que 1) i per la dreta (valors més grans que 1) veiem que obtenim dos resultats diferents:
limx→1+=1limx→1−=0
Quan els límits laterals no coincideixen, diem que limx→1floor(x)=∄. Per tant:
Si limx→a−f(x)=limx→a−f(x)=L⇒limx→af(x)=L
en cas contrari (els límits laterals no coincideixen) el límit no existeix.
Límits d'una funció a l'infinit (limx→±∞f(x))
En aquest apartat volem veure què passa amb una funció quan prenem x molt i molt petites (x→−∞) i molt i molt grans (x→+∞). Quan calculem aquests límits, si el resultat és un nombre, podrem assegurar que la funció té una assímptota horitzonal:
Si limx→±∞f(x)=a⇒ en y=a hi ha una assímptota horitzontal
En canvi,
Si limx→±∞f(x)=±∞⇒ La funció no té assímptotes horitzontals
Exemple 2
Estudia els límits infinits de la funció y=f(x)=1x2
limx→−∞f(x)=1(−∞)2=1+∞=0limx→+∞f(x)=1(+∞)2=1+∞=0
Per tant, aquesta funció tindrà dues assímptotes horitzontals en y=0. Anem a veure-ho amb la gràfica:
Límits infinits (limx→af(x)=±∞)
Ens interessa veure què els passa a les funcions quan al calcular un límit ens dóna com a resultat ±∞. Anem a veure-ho a través d'un exemple.
Exemple 3
Donada la funció y=f(x)=2x−1 representa-la i estudia què passa quan x→1.
Aquesta és una funció racional amb domini D=R−1. Anem a veure què passa quan ens acostem a 1 per l'esquerra (limx→1−2x−1) i per la dreta: (limx→1−2x−1). Si ho mirem a través d'una taula de valors:
xf(x)0.9−200.99−2000.999−20000.9999−200001.1201.012001.00120001.000120000
Per tant, de la taula podem deduir:
limx→1−2x−1=−∞limx→1+2x−1=+∞
Si representem gràficament aquesta funció veurem què passa de manera més clara:
Veiem que la funció té una assímptota vertical per l'esquerra en x=1 i una assímptota vertical per la dreta també en x=1.
Si limx→±af(x)=±∞⇒ en x=a hi ha una assímptota vertical
Mètode per a resoldre indeterminacions del tipus 00
Ens podem trobar que com a conseqüència del càlcul d'un límit, ens trobem amb alguna indeterminació. Al tema passat ja vam veure com resoldre indeterminacions del tipus ∞∞, 0⋅∞ i 1∞. Anem a veure aquí una altra indeterminació: 00. En general ens hi trobarem amb fraccions algebraiques. En aquest cas ens caldrà descomposar els polinomis numerador i denominador de les fraccions algebraiques com a producte de polinomis irreductibles. Això segurament ens permetrà simplificar algun factor i podrem calcular el límit.
Exemple 4
Calcula aquest límit:
limx→13√x3−x2+x−1x3−1=00=indlimx→13√x3−x2+x−1x3−1=limx→13√(x−1)(x2+1)(x−1)(x2+x+1)=3√23
Continuïtat d'una funció en un punt
Intuïtivament una funció és contínua en un punt a quan per dibuixar la gràfica no aixequem el llapis del paper quan passem per aquest punt. Anem a definir-ho d'una manera més formal.
Una funció f(x) és contínua en x=a si s'acompleix alguna de les condicions següents:
- ∃f(a)→a∈Df
- ∃limx→af(x) i és un nombre
- limx→a±f(x)=f(a)
A partir d'aquí també podem afirmar:
f(x) és contínua en x=a⇔limx→af(x)=f(a)
Si parlem d'intervals:
f(x) és contínua en un interval A si és contínua en tots els punts d'aquest interval.
Discontinuïtats
Quan el que hem explicat en l'apartat anterior no passa, tindrem que la funció f(x) és discontínua en x=a. Hi poden haver 3 tipus de discontinuïtats diferents, anem-les a revisar.
Discontinuïtat evitable
S'anomena discontinuïtat evitable de f(x) en x=a quan no existeix f(a) però en canvi sí que existeix el seu límit: ∄f(a)i∃limx→af(x).
La discontinuïtat es pot evitar assignant-li a a com a imatge el seu límit: f(a)=limx→af(x). La funció que en resulta s'anomena funció prolongada de f per continuïtat.
Es pot demostrar que això passa quan la indeterminació obtinguda en calcular el límit és 00.
Exemple 5
Anem a estudiar la continuïtat de la funció f(x)=x2−4x−2 en x=2. Si ens hi fixem, el domini de la funció és Df=R−2. Si estudiem una mica més la funció, veiem que:
limx→2x2−4x−2=00= ind →limx→2x2−4x−2=limx→2(x−2)(x+2)x−2=limx→2(x+2)=4
Hi ha una discontinuïtat evitable en x=2 tal i com podem veure a la representació gràfica:
Per prolongar aquesta funció per continuïtat n'hi hauria prou d'assignar: f(2)=4.
Discontinuïtat de salt
Tenim una discontinuïtat de salt quan els límits laterals d'una funció en un punt no coincideixen:
limx→a−f(x)≠limx→a+f(x)→∄limx→af(x)
Llavors el tamany del salt S equivaldrà a la distància entre límits:
S=limx→a+f(x)−limx→a−f(x)
En aquest cas pot ser que existeixi o no f(a). Un exemple d'això seria la funció part entera, y=f(x)=E(x).
Discontinuïtat assimptòtica
Tenim una discontinuïtat assimptòtica quan un límit lateral o tots dos tenen com a resultat infinit:
limx→a+f(x)=∞ i/o limx→a−f(x)=∞
En aquest cas podem afirmar que en x=a hi ha una assímptota vertical.
Es pot demostrar que això passa quan limx→af(x)=A0.
L'exemple 2 i l'exemple 3 il.lustren aquest cas.