Tema 10: Límits i continuïtat de funcions

En aquest tema estudiarem en detall la continuïtat d'una funció i també què passa en els punts que aquesta és discontínua. Ho farem utilitzant el concepte de límit que ja vam començar a treballar amb les successions. D'altra banda, ens fixarem també què passa quan la variable es fa molt petita (x) i quan aquesta es fa molt gran (x+).

Concepte de límit d'una funció en un punt

En el tema de successions, teníem que sempre calculàvem el límit d'una successió an quan n+. I ens trobàvem amb 3 casos:

liman=L{+ nombre real 

En aquest tema traslladarem el concepte de límit a les funcions. Si tenim una funció f(x) podem plantejar-nos 3 coses:

  1. Què passa quan x
  2. Què passa quan x+
  3. Què passa quan xa on aR

Interpretació gràfica

A través d'un exemple molt senzill veurem què vol dir gràficament el límit d'una funció en un punt.

Exemple 1

Considerem la funció y=f(x)=2x+1. El domini d'aquesta funció són tots els nombres reals. Volem calcular quin és el límit d'aquesta funció quan x s'acosta a 2. Com que el domini d'aquesta funció són tots els nombres reals, el 2 tindrà imatge, de fet, f(2)=22+1=5. Considerem ara un petit entorn de 2 que l'anomenem A i mirarem que passa amb les imatges d'aquest entorn. A sota podeu veure'n una representació gràfica.

Veiem que si les x estan en un entorn A amb punt central x=2 les imatges d'aquest entorn estan en un entorn de centre y=5 i radi r, això és, en un interval (5r,5+r). Si fem aquest entorn de x=2 cada vegada més petit, podem veure que les imatges cada vegada s'acosten més a 5. D'aquesta manera podem afirmar que:

limx2f(x)=limx2(2x+1)=5

Això, expressat en un altre llenguatge, és:

limx2f(x)=5 un entorn A| si xA , x2f(x)(5r,5+r)

Definició de límit d'una funció en un punt

Anem a definir més rigorosament el límit d'una funció en un punt:

limxaf(x)=L entorn (Lr,L+r) en l'eix y  un entorn A d' a en l'eix x| si xA , xaf(x)(Lr,L+r)

Límits laterals

Quan parlem del límit d'una funció en un punt, també podem considerar-ne els límits laterals, què passa amb la funció quan ens acostem al punt per l'esquerra i què passa amb la funció quan ens acostem al punt per la dreta.

Per estudiar això fixem-nos amb la funció terra : y=f(x)=floor(x), que representem a continuació. Aquesta funció assigna a cada nombre real x el nombre enter k que compleix: kx.

Si estudiem què passa quan ens acostem a x=1 per l'esquerra (valors més petits que 1) i per la dreta (valors més grans que 1) veiem que obtenim dos resultats diferents:

limx1+=1limx1=0

Quan els límits laterals no coincideixen, diem que limx1floor(x)=. Per tant:

Si limxaf(x)=limxaf(x)=Llimxaf(x)=L

en cas contrari (els límits laterals no coincideixen) el límit no existeix.

Límits d'una funció a l'infinit (limx±f(x))

En aquest apartat volem veure què passa amb una funció quan prenem x molt i molt petites (x) i molt i molt grans (x+). Quan calculem aquests límits, si el resultat és un nombre, podrem assegurar que la funció té una assímptota horitzonal:

Si limx±f(x)=a en y=a hi ha una assímptota horitzontal

En canvi,

Si limx±f(x)=± La funció no té assímptotes horitzontals

Exemple 2

Estudia els límits infinits de la funció y=f(x)=1x2

limxf(x)=1()2=1+=0limx+f(x)=1(+)2=1+=0

Per tant, aquesta funció tindrà dues assímptotes horitzontals en y=0. Anem a veure-ho amb la gràfica:

Límits infinits (limxaf(x)=±)

Ens interessa veure què els passa a les funcions quan al calcular un límit ens dóna com a resultat ±. Anem a veure-ho a través d'un exemple.

Exemple 3

Donada la funció y=f(x)=2x1 representa-la i estudia què passa quan x1.

Aquesta és una funció racional amb domini D=R1. Anem a veure què passa quan ens acostem a 1 per l'esquerra (limx12x1) i per la dreta: (limx12x1). Si ho mirem a través d'una taula de valors:

xf(x)0.9200.992000.99920000.9999200001.1201.012001.00120001.000120000

Per tant, de la taula podem deduir:

limx12x1=limx1+2x1=+

Si representem gràficament aquesta funció veurem què passa de manera més clara:

Veiem que la funció té una assímptota vertical per l'esquerra en x=1 i una assímptota vertical per la dreta també en x=1.

Si limx±af(x)=± en x=a hi ha una assímptota vertical

Mètode per a resoldre indeterminacions del tipus 00

Ens podem trobar que com a conseqüència del càlcul d'un límit, ens trobem amb alguna indeterminació. Al tema passat ja vam veure com resoldre indeterminacions del tipus , 0 i 1. Anem a veure aquí una altra indeterminació: 00. En general ens hi trobarem amb fraccions algebraiques. En aquest cas ens caldrà descomposar els polinomis numerador i denominador de les fraccions algebraiques com a producte de polinomis irreductibles. Això segurament ens permetrà simplificar algun factor i podrem calcular el límit.

Exemple 4

Calcula aquest límit:

limx13x3x2+x1x31=00=indlimx13x3x2+x1x31=limx13(x1)(x2+1)(x1)(x2+x+1)=323

Continuïtat d'una funció en un punt

Intuïtivament una funció és contínua en un punt a quan per dibuixar la gràfica no aixequem el llapis del paper quan passem per aquest punt. Anem a definir-ho d'una manera més formal.

Una funció f(x) és contínua en x=a si s'acompleix alguna de les condicions següents:

  1. f(a)aDf
  2. limxaf(x) i és un nombre
  3. limxa±f(x)=f(a)

A partir d'aquí també podem afirmar:

f(x) és contínua en x=alimxaf(x)=f(a)

Si parlem d'intervals:

f(x) és contínua en un interval A si és contínua en tots els punts d'aquest interval.

Discontinuïtats

Quan el que hem explicat en l'apartat anterior no passa, tindrem que la funció f(x) és discontínua en x=a. Hi poden haver 3 tipus de discontinuïtats diferents, anem-les a revisar.

Discontinuïtat evitable

S'anomena discontinuïtat evitable de f(x) en x=a quan no existeix f(a) però en canvi sí que existeix el seu límit: f(a)ilimxaf(x).

La discontinuïtat es pot evitar assignant-li a a com a imatge el seu límit: f(a)=limxaf(x). La funció que en resulta s'anomena funció prolongada de f per continuïtat.

Es pot demostrar que això passa quan la indeterminació obtinguda en calcular el límit és 00.

Exemple 5

Anem a estudiar la continuïtat de la funció f(x)=x24x2 en x=2. Si ens hi fixem, el domini de la funció és Df=R2. Si estudiem una mica més la funció, veiem que:

limx2x24x2=00= ind limx2x24x2=limx2(x2)(x+2)x2=limx2(x+2)=4

Hi ha una discontinuïtat evitable en x=2 tal i com podem veure a la representació gràfica:

Per prolongar aquesta funció per continuïtat n'hi hauria prou d'assignar: f(2)=4.

Discontinuïtat de salt

Tenim una discontinuïtat de salt quan els límits laterals d'una funció en un punt no coincideixen:

limxaf(x)limxa+f(x)limxaf(x)

Llavors el tamany del salt S equivaldrà a la distància entre límits:

S=limxa+f(x)limxaf(x)

En aquest cas pot ser que existeixi o no f(a). Un exemple d'això seria la funció part entera, y=f(x)=E(x).

Discontinuïtat assimptòtica

Tenim una discontinuïtat assimptòtica quan un límit lateral o tots dos tenen com a resultat infinit:

limxa+f(x)= i/o limxaf(x)=

En aquest cas podem afirmar que en x=a hi ha una assímptota vertical.

Es pot demostrar que això passa quan limxaf(x)=A0.

L'exemple 2 i l'exemple 3 il.lustren aquest cas.