Tema 9: Problemes mètrics

Distància entre dos punts

Tal i com vèiem el curs passat, la distància entre 2 punts $A(a_1,a_2,a_3)$ i $B(b_1,b_2,b_3)$ a $\mathbb{ R }^3$ és el mòdul del vector format per aquests punts:

$$d(A,B)=|\sqrt{ (b_1-a_1)^2+ (b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}|$$

Distància d'un punt a una recta

Donat un punt $P(a,b,c)$ i una recta $r$ qualsevol, la distància d'aquest punt a la recta s'obté calculant la projecció ortogonal del punt $P$ sobre la recta $r$, el punt $P^\prime$. La distància serà el mòdul del vector $\overrightarrow{ P^{\prime}P }$.

Aquesta distància es pot calcular de moltes maneres. Ho farem amb un exemple concret i el resoldrem de 3 maneres completament diferents.

Exemple 1

Troba la distància del punt $P(5,6,1)$ a la recta $r:\frac{ x }{ 1 }=\frac{ y-1 }{ 1 }=\frac{ z+1 }{ 4 }$.

1. Expressem la recta amb l'equació paramètrica, escrivim la projecció $P^\prime$ en funció del paràmetre i exigim que el vector $\overrightarrow{ P^{\prime}P}$ sigui perpendicular al vector director de la recta, $\overrightarrow{ v }$.

   La recta que ens donen en forma paramètrica és:

   $$r: \begin{cases} x&=\lambda \\ y&=1+\lambda \\ z&=-1+4\lambda \end{cases}$$

   Per tant, qualsevol punt de la recta $r$, i $P^{\prime}$ en particular, tindrà la forma:

   $$P^{\prime}=(\lambda,1+\lambda,-1+4\lambda)$$

   Si calculem ara la distància entre $P$ i $P^{\prime}$ a través del mòdul del vector $|\overrightarrow{ P^{\prime}P}|$, tenim que:

   $$\overrightarrow{ P^{\prime}P}=(5-\lambda,6-1-\lambda,1+1-4\lambda)=(5-\lambda,5-\lambda,2-4\lambda)$$

   Alhora, aquest vector és perpendicular al vector director de la recta, $\overrightarrow{ v }=(1,1,4)$. Per tant, el seu producte escalar serà zero:

   $$\overrightarrow{ v }\cdot \overrightarrow{ P^{\prime}P }=1(5-\lambda)+1(5-\lambda)+4(2-4\lambda)=0 \rightarrow \lambda = 1$$

   Per tant, la projecció de $P$ sobre la recta $r$ és: $\overrightarrow{ P^{\prime}}=(1,2,3)$ i la distància del punt a la recta és:

   $$d(P,r)=|\overrightarrow{ P^{\prime}P}|=\sqrt{ (5-1)^2+(6-2)^2+(3-1)^2 }=6$$

2. Calculem l'equació del pla $\pi$ perpendicular a $r$ que passa per $P$. La intersecció entre la recta i el pla serà necessàriament el punt $P^{\prime}$, la projecció de $P$ sobre la recta $r$.

   El pla $\pi$ perpendicular a $r$ tindrà de vector normal el vector director de la recta: $\overrightarrow{ n }=(1,1,4)$. Per tant, serà de la forma: $\pi: x+y+4z+D=0$. Com que el punt $P(5,6,1)$ pertany al pla, tenim que:

   $$5+6+4\cdot 1+D=0\rightarrow D=-15$$

   L'equació del pla és doncs: $\pi: x+y+4z-15=0$

   Si substituïm les coordenades $x$, $y$ i $z$ en funció de $\lambda$ a l'equació del pla i aïllem $\lambda$ trobarem les coordenades del punt $P^{\prime}$:

   $$\lambda+1+\lambda+4(-1+4\lambda)-15=0\rightarrow \lambda=1\rightarrow P^{\prime}=(1,2,3)$$

   A partir d'aquí, calculem la distància igual que ho hem fet a l'apartat anterior.

3. Calculem la distància aplicant la fòrmula de la distància d'un punt $P$ a una recta $r$.

   Donat un punt $Q$ de la recta qualsevol, mirant el dibuix i aplicant la trigonometria, la distància entre $P$ i $P^{\prime}$, es pot calcular com:

   $$d(P,r)=|\overrightarrow{ P^{\prime}P }|=|\overrightarrow{ PQ }|\cdot \sin (\alpha)$$

   Si multipliquem i dividim l'expressió anterior pel mòdul del vector director de la recta, $|\overrightarrow{ v }|$ obtenim:

   $$d(P,r)=|\overrightarrow{ P^{\prime}P }|=\frac{|\overrightarrow{ PQ }|\cdot \sin (\alpha) \cdot |\overrightarrow{ v }|}{\overrightarrow{ v }}$$

   Si ens fixem, el numerador és el mòdul del producte vectorial dels vectors $\overrightarrow{ PQ }$ i $\overrightarrow{ v }$. Per tant, podem reescriure aquesta fòrmula de la manera següent:

   $$\bbox[5px,border:2px solid black]{d(P,r)=\frac{ |\overrightarrow{ PQ }\times \overrightarrow{ v }| }{ |\overrightarrow{ v }| }}$$

   Si apliquem la fòrmula en el nostre problema concret:

   $$P=(5,6,1),\qquad Q=(0,1,-1)\rightarrow \overrightarrow{ PQ }=(-5,-5,-2)$$

   Hem agafat com a punt $Q$ el punt de l'equació contínua de la recta.

   Aplicant ara la fòrmula:

   $$d(P,r)=\frac{ |\overrightarrow{ PQ }\times \overrightarrow{ v }| }{ |\overrightarrow{ v }| }=\frac{ | (-5,-5,-2) \times (1,1,4)| }{ |(1,1,4)| }=\frac{ |(-18,18,0)| }{ \sqrt{1+1+16} }=\frac{ \sqrt{18^2+18^2} }{ \sqrt{18} }=6$$

Distància d'un punt a un pla

Per calcular la distància d'un punt $P$ a un pla, cal fer un procediment igual a la manera 2 de l'exemple 1 anterior:

1. Primer caldrà trobar la recta perpendicular al pla que passa pel punt $P$ en qüestió. Per això agafem com a vector director de la recta el vector normal del pla. Com a punt de la recta agafem el punt $P$ i trobem l'equació.

2. Un cop tenim l'equació de la recta, la projecció del punt $P$ sobre el pla, $P^{\prime}$, és la intersecció de la recta amb el pla.

3. La distància entre $P$ i el pla és el mòdul del vector $|\overrightarrow{ P^{\prime}P }|$

Punt simètric d'un punt respecte una recta o un pla

Un cop hem trobat la projecció d'un punt $P$ sobre una recta o un pla, el punt $P^\prime$, considerem ara el punt simètric al punt $P$, $P ^{\prime \prime}$ com aquell que el punt mig del segment $\overline{ PP^{\prime \prime} }$ és $P^\prime$. Això ho veurem més clar en un dibuix:

Per tant, per trobar el punt simètric respecte una recta o pla, primer caldrà trobar la projecció ortogonal del punt respecte la recta o pla i després aplicar la fòrmula del punt mig d'un segment. Si assumim que $P=(x,y,z)$, $P^{\prime}=(x^\prime , y^\prime , z^ {\prime} )$ i $P^{\prime \prime}=(x^{\prime \prime} , y^{\prime \prime} , z^ {\prime \prime} )$, es compleix que:

$$(x^\prime , y^\prime , z^ {\prime} )=(\frac{ x+x^{\prime \prime} }{ 2 },\frac{ y+y^{\prime \prime} }{ 2 }, \frac{ z+z^{\prime \prime} }{ 2 })$$

Distància entre dues rectes

Si les dues rectes es tallen, la distància serà zero. Aquest cas només té sentit plantejar-lo per dues rectes que són paral.leles o es creuen. Per tant, primer caldrà estudiar la posició relativa entre les dues rectes per determinar el que s'ha de fer després. Ho veurem tot a través d'un exemple.

Exemple 2

Troba la distància entre les rectes $r:\frac{ x-1 }{ 2 }=\frac{ y }{ 1 }=\frac{ z-2 }{ 0 }$ i $s:\frac{ x }{ 1 }=\frac{ y }{ 1 }=\frac{ z -1 }{ 1 }$.

1. Posició relativa de les dues rectes

   Agafem els 2 vectors directors de $r$ i $s$, $\overrightarrow{ u }=(2,1,0)$ i $\overrightarrow{ v }=(1,1,1)$. Juntament amb un punt de $r$, $P=(1,0,2)$ i un punt de $s$, $Q=(0,0,1)$, creem el vector $\overrightarrow{ PQ }=(-1,0,-1)$. Amb aquests 3 vectors, mirem quin és el determinant de la matriu $3x3$. Si aquest determinant és diferent de zero, voldrà dir que el rang és 3 i les rectes es creuen:

   $$\begin{vmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}=-2$$

   Per tant, les rectes es creuen.

2. Considerem la recta $t$ perpendicular a $r$ i a $s$.

   Aquesta recta tindrà de vector director $\overrightarrow{ w }$ que serà perpendicular alhora a $\overrightarrow{ u }$ i a $\overrightarrow{ v }$:

   $$\overrightarrow{ w }=\begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(1,-2,1)$$

3. Trobem l'equació del pla $\pi$ que conté la recta $t$ i la recta $s$

   Tenim 2 vectors que pertanyen en aquest pla, el vector $\overrightarrow{ w }$ de $t$ i el vector $\overrightarrow{ v }$ de $s$. Només ens falta agafar un punt del pla per trobar-ne l'equació. Com a punt del pla podem agafar el punt $Q=(0,0,1)$ de $s$. Per tant, el pla tindrà com a equació:

   $$\begin{vmatrix} x-0 & 1 & 1 \\ y-0 & -2 & 1\\ z-1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=0 \rightarrow -3x+3z-3=0 \rightarrow x-z+1=0$$

4. Busquem la intersecció del pla $\pi$ amb la primera recta, $r$. Això ens donarà un punt, diguem-li $A$.

   Expressem l'equació de $r$ de forma paramètrica i substituïm els valors de $x$, $y$ i $z$ en l'equació del pla:

   $$r: \begin{cases} x&=1+2\lambda \\ y&=\lambda \\ z&=2 \end{cases}\rightarrow (1+2\lambda)-2+1=0 \rightarrow \lambda=0$$

   Per tant, substituïnt el valor de $\lambda$ a l'equació paramètrica de $r$ trobem que el punt $A$ té coordenades:

   $$A=(1,0,2)$$

   Que casualment coincideix amb $P$.

5. Trobem l'equació de la recta $t$:

   $$\frac{ x-1 }{ 1 }=\frac{ y-0 }{ -2 }= \frac{ z-2 }{ 1 }$$

6. La distància entre les rectes $r$ i $s$ és la distància de $A$ a la recta $s$:

   $$d(r,s)=d(P,s)=\frac{ |\overrightarrow{ PQ }\times \overrightarrow{ v }| }{ |\overrightarrow{ v }| }=\frac{ |(-1,0,-1)\times (1,1,1)| }{ \sqrt{ 1+1+1 }}=\frac{ \sqrt{ 6 }}{ 3 }u \approx 0.82$$

7. Representació gràfica.

   A sota trobem la representació gràfica del problema. En blau hi ha representades les rectes $r$ i $s$ originals, en taronja la recta $t$ perpendicular a totes dues. També hi ha representat el pla $\pi$ en color blau.

Existeix també una fòrmula per a calcular la distància entre dues rectes que es creuen. Donades dues rectes $r$ i $s$ de vectors directors $\overrightarrow{ u }$ i $\overrightarrow{ v }$ respectivament, amb punts $P$ de $r$ i $Q$ de $s$, la distància entre les dues rectes es pot trobar amb l'expressió següent:

$$d(r,s)=\frac{ |\overrightarrow{ PQ } \cdot (\overrightarrow{ u }\times \overrightarrow{ v })|}{ |\overrightarrow{ u }\times \overrightarrow{ v }| }$$

Manera 2

També podíem haver fet aquest problema d'una altra manera. Anem a veure-ho a sota.

1. Trobem l'equació d'un pla $\pi$ que conté la recta de sota, $s$ i és paral.lel a la recta de dalt, $r$. Per trobar-lo, com que les dues rectes ja hem comprovat prèviament que es creuen, agafo els 2 vectors directors de $r$ i $s$ i el punt $Q$ de $s$:

   $$\begin{vmatrix} x-0 & 2 & 1 \\ y-0 & 1 & 1\\ z-1 & 0 & 1 \end{vmatrix}=0 \rightarrow x-2y+z-1=0$$

2. Per trobar la distància entre $r$ i $s$ nomes ens cal trobar la distància entre $P$ i la seva projecció ortogonal sobre el pla $\pi$, $P^{\prime}$. Per fer-ho, calculem la recta perpendicular al pla $\pi$ que passa per $P$, $t$. Aquesta tindrà vector director $\overrightarrow{ w }=\overrightarrow{ n }=(1,-2,1)$:

   $$t:\begin{cases} x=1+\lambda \\ y=-2 \lambda \\ z= 2+ \lambda \end{cases}$$

3. El punt $P^{\prime}$ serà la intersecció entre $t$ i el pla $\pi$. Qualsevol punt de $t$ té la forma: $P^{\prime}=(1+\lambda,-2\lambda,2+\lambda)$. Si ho substituïm a l'equació de $\pi$:

   $$(1+\lambda)-2(-2\lambda)+(2+\lambda)-1=0\rightarrow \lambda=-\frac{ 1 }{ 3 }$$

4. La distància entre les dues rectes serà el mòdul del vector $\overrightarrow{ PP^{\prime} }$:

   $$P^{\prime}=\big( \frac{ 2 }{ 3 },\frac{ 2 }{ 3 },\frac{ 5 }{ 3 } \big) \rightarrow |\overrightarrow{ P P^{\prime} }|=\sqrt{ (\frac{ 2 }{ 3 }-1)^2+ (\frac{ 2 }{ 3 }-0)^2 + (\frac{ 5 }{ 3 }-2)^2 }=\frac{ \sqrt{ 6} }{ 3 }$$

Distància d'una recta a un pla

Si la recta i el pla es tallen, o la recta està dins el pla, llavors la distància també serà zero. Per tant, primer caldrà trobar la posició relativa entre la recta i el pla.

Si són paral.lels no coincidents, l'únic que haurem de fer és agafar un punt de la recta i calcular la distància del punt al pla donat.

Projecció d'una recta sobre un pla

Donat un pla $\pi$ i una recta $r$ qualsevol, es pot calcular la seva projecció sobre el pla. Diguem que és com si calculéssim l'ombra de la recta sobre el pla. Primer de tot caldrà estudiar la posició relativa entre recta i pla. Ens podem trobar en 3 casos diferents:

• El pla i la recta són paral.lels. En aquest cas agafarem un punt $P$ qualsevol de la recta $r$ i calcularem la seva projecció ortogonal sobre el pla $\pi$, $P^{\prime}$. Per trobar l'equació d'una recta necessitem un punt i un vector o dos punts (perquè el vector ja s'obté fent extrem menys origen dels punts). Fem el mateix amb un altre punt de la recta i ja haurem acabat. Trobem l'equació de la recta projectada a partir d'aquests dos punts.
• La recta pertany al pla. En aquest cas, la projecció de la recta sobre el pla és ella mateixa.
• El pla i la recta es tallen. El primer punt que utilitzem és el punt de tall del pla $\pi$ i la recta $r$, diguem-li $A$. El segon punt s'obté calculant la projecció ortogonal de $P$ sobre el pla $pi$, diguem-li $P^\prime$. Amb aquests dos punts ja podem obtenir l'equació de la recta projectada.

Exemple 3

Calcula la projecció de la recta $r:\begin{cases} x=-4+6\lambda \\ y=3 \\ z= 5-5 \lambda \end{cases}$ sobre el pla $\pi: z=3$.

Primer de tot cal comprovar la posició relativa entre la recta i el pla. El vector director de la recta és $\overrightarrow{ v }=(6,0,-5)$ i el vector normal del pla és $\overrightarrow{ n }=(0,0,1)$. Veiem que no són perpendiculars, per tant, la recta i el pla es tallen.

Per calcular la projecció de la recta sobre el pla, primer de tot calcularem la projecció d'un punt $P$ de la recta sobre el pla, $P^{\prime}$. Llavors, calcularem el punt de tall de la recta $r$ amb el pla $\pi$. Amb aquests 2 punts, ja en tindrem prou per trobar la projecció de la recta $r$ sobre el pla $\pi$, $r^{\prime}$.

L'equació de la recta $t$ que és perpendicular a $\pi$ i passa per $P$ té vector director $\overrightarrow{ n }$ i és:

$t:\begin{cases} x=-4 \\ y=3 \\ z= 5+ \lambda \end{cases}$

Per trobar $P^\prime$ només ens cal trobar la intersecció de $t$ amb $\pi$:

$$5+\lambda=3\rightarrow \lambda=-2 \rightarrow P^{\prime}=(-4,3,3)$$ .

Ara trobarem el punt $C$ d'intersecció de $r$ amb el pla $\pi$ i tindrem el segon punt. Si substituïm l'equació paramètrica de $r$ a l'equació del pla obtenim:

$$5-5\lambda=3\rightarrow \lambda=\frac{ 2 }{ 5 }\rightarrow C=(-\frac{ 8 }{ 5 },3,3)$$

Llavors, l'equació de la projecció de $r$ sobre el pla $\pi$, o sigui $r^\prime$ la podem trobar amb els punts $P^{\prime}=(-4,3,3)$ i $C=(-\frac{ 8 }{ 5 },3,3)$. Calculeu el seu vector director:

$$\overrightarrow{ v^\prime }=\overrightarrow{ P^\prime C} =(-\frac{ 12 }{ 5 },0,0)$$

Per tant, l'equació de la recta és:

$r^\prime:\begin{cases} x=-4-\frac{ 12 }{ 5 }\lambda \\ y=3 \\ z= 3 \end{cases}$

Distància entre dos plans

Aquí funcionarà una mica igual. Caldrà primer estudiar-ne la seva posició relativa. Si els plans són coincidents o es tallen, la distància serà zero. Si els plans són paral.lels, s'agafarà un punt qualsevol d'un dels plans i es calcularà la distància d'aquest punt a l'altre pla.