Tema 8: Successions

Introducció

Segur que tots coneixeu la successió de Fibonacci, que comença amb dos uns i cada terme s'obté sumant els dos anteriors:

$$1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...$$

En aquest tema estudiarem en profunditat el món de les successions o també conegudes com a progressions. Segur que algunes coses ja us sonaran de l'eso, però hi afegirem coses noves com és ara el concepte de límit que apareixerà també al llarg dels temes següents.

Definició

Una successió és una llista ordenada de nombres reals. De fet, tècnicament és una aplicació entre el conjunt dels nombres naturals i els nombres reals, de tal manera que a cada nombre natural $n$ i fa correspondre un nombre real $a_n$:

$$\begin{align} f:\mathbb{N} &\rightarrow \mathbb{R}\\ n &\rightarrow a_n \end{align}$$

$n$ és l'índex de l'element de la successió que estem parlant (lloc, per entendre'ns), i $a_n$ és el terme de la successió que ocupa el lloc $n$.

Exemple 1

Anem a veure alguns exemples de successions:

1. $2,4,6,8,10,12,14,.....$
2. $3,6,12,24,48,96,......$
3. $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5},...$

En la primera successió, $a_1=2$, $a_2=4$ i així successivament. En la segona, $a_1=3$ i $a_2=6$ i en la tercera, $a_1=1$, $a_2=\frac{1}{2}$.

Terme general

El terme general d'una successió és l'expressió algebraica que em dóna el terme $a_n$ en funció del paràmetre $n$. D'aquesta manera, el terme general ens permet trobar qualsevol terme de la successió. Només ens cal substituir $n$ pel nombre natural desitjat.

Exemple 2

En l'exemple anterior, podem trobar el terme general fàcilment sense haver de pensar gaire:

1. $a_n=2n$
2. $a_n=3\cdot 2^{n-1}$
3. $a_n=\frac{1}{n}$

De fet, una sucessió es pot definir de 3 maneres diferents:

1. Donant una sèrie de termes, com a l'exemple 1
2. Donant el terme general
3. Donant una relació de recurrència, com a la sucessió de Fibonacci, en la qual ens permet obtenir un terme a partir dels anteriors

A continuació veurem les característiques de dues de les successions més típiques, les aritmètiques i les geomètriques.

Successions aritmètiques

Una successió aritmètica és aquella que cada terme s'obté sumant una quantitat fixa anomenada diferència a l'anterior:

$$a_n=a_{n-1}+d$$

Donada una successió de termes, sabrem que és una progressió aritmètica si restant dos termes consecutius sempre obtenim el mateix valor.

Terme general

Anem a veure com obtenim el terme general d'una progressió aritmètica.

$$\begin{align} a_1&=a_1\\ a_2&=a_1+d\\ a_3&=a_2+d=a_1+2d\\ a_4&=a_3+d=a_1+3d\\ &................\\ a_n&=a_{n-1}+d=a_1+(n-1)d \end{align}$$

Per tant, el terme general d'una successió aritmètica és:

$$a_n=a_{n-1}+d=a_1+(n-1)d$$

Suma dels $n$ termes

De la mateixa manera podem deduir la fòrmula de la suma dels $n$ termes d'una successió geomètrica. Per sumar els $n$ primers termes d'una successió aritmètica tenim:

$$\begin{align} S_n&=a_1+a_2+a_3+...+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n\\ S_n&=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_3+a_2+a_1\\ \hline 2S_n&=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+...+(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1}+a_2)+(a_1+a_n) \end{align}$$

Fixem-nos amb les sumes dels termes entre parèntesi. Veiem que la primera suma i la última són iguals. Anem a veure què passa amb les del mig:

$$\begin{align} a_2&=a_1+d\\ a_{n-1}&=a_n-d\\ \hline a_2+a_{n-1}&=a_1+a_n \end{align}$$

El mateix passa amb els altres termes:

$$\begin{align} a_3&=a_2+d\\ a_{n-2}&=a_{n-1}-d\\ \hline a_3+a_{n-2}&=a_2+a_{n-1}=a_1+a_n \end{align}$$

Per tant, si anem sumant termes equidistants de la successió sempre ens dóna com a resultat $a_1+a_n$. Amb això, aplicat a la primera operació obtenim:

$$2S_n=(a_1+a_n)n$$

Per tant, la suma dels n termes d'una successió aritmètica és:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$

Exemple 3

Troba el terme general de la successió: $2,4,6,8,...$ troba també la suma dels $50$ primers nombres parells.

Per la successió anterior veiem que és aritmètica de diferència $d=2$. Per tant, anem a trobar-ne el terme general:

$$\begin{align} a_n&=a_1+(n-1)d\\ a_n&=2+(n-1)2\\ a_n&=2n \end{align}$$

Per trobar la suma dels 50 primers nombres parells només cal aplicar la fòrmula:

$$\begin{align} S_n&=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n \\ S_n&=\frac{2+2n}{2}\cdot n\\ S_n&=(1+n)\cdot n=n^2+n\\ S_50&=50^2+50=2550 \end{align}$$

Successions geomètriques

Una successió geomètrica és una successió de nombres reals en els quals el quocient entre dos termes consecutius de la successió és constant i s'anomena raó. El que és el mateix, obtenim un terme multiplicant l'anterior per la raó:

$$a_{n+1}=a_n\cdot r$$

Terme general

Anem a veure com obtenim el terme general d'una progressió geomètrica.

$$\begin{align} a_1&=a_1\\ a_2&=a_1\cdot r\\ a_3&=a_2\cdot r=a_1 \cdot r^2\\ a_4&=a_3\cdot r=a_1\cdot r^3\\ &................\\ a_n&=a_1 \cdot r^{n-1} \end{align}$$

Per tant, el terme general d'una successió geomètrica és:

$$a_n=a_1 \cdot r^{n-1}$$

Suma dels $n$ termes

Anem a deduir ara la suma dels $n$ termes d'una successió geomètrica:

$$S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n$$

Multipliquem a banda i banda per la raó $r$:

$$\begin{align} S_n\cdot r&=a_1\cdot r+a_2\cdot r+a_3\cdot r+...+a_{n-2}\cdot r+a_{n-1}\cdot r+a_n \cdot r\\ S_n\cdot r&=a_2+a_3+a_4+...+a_{n-1}+a_n+a_n\cdot r \end{align}$$

Si restem les dues expressions anteriors:

$$\begin{align} S_n\cdot r&=a_2+a_3+a_4+...+a_{n-1}+a_n+a_n\cdot r\\ -S_n&=-a_1-a_2-a_3-...-a_{n-2}-a_{n-1}-a_n\\ \hline S_n\cdot r-S_n&=-a_1+a_n\cdot r\\ S_n(r-1)&=a_n\cdot r-a_1 \end{align}$$

Per tant, la suma dels $n$ termes d'una progressió geomètrica és:

$$S_n=\frac{a_n\cdot r-a_1}{r-1}=\frac{a_1\cdot r^n-a_1}{r-1}=\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}$$

Exemple 4

Troba el terme general de la successió: $2,6,18,54,...$ troba també la suma dels $10$ primers termes de la successió

Per la successió anterior veiem que és geomètrica de raó $r=3$. Per tant, anem a trobar-ne el terme general:

$$\begin{align} a_n&=a_1 \cdot r^{n-1}\\ a_n&=2\cdot 3^{n-1}\\ \end{align}$$

Per trobar la suma dels 10 primers termes només cal aplicar la fòrmula:

$$\begin{align} S_n&=\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}\\ S_n&=\frac{2(3^n-1)}{2}\\ S_n&=3^n-1\\ S_10&=3^10-1=59048 \end{align}$$

Suma dels infinits termes amb $|r|<1$

Recordem l'expressió de la suma dels $n$ termes d'una progressió geomètrica:

$$S_n=\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}$$

Si $n$ es fa molt gran, com que $|r|<1$, quan l'elevem a un nombre molt gran, $r^n\rightarrow 0$. Per tant, la suma dels infinits termes d'una progressió geomètrica si $|r|<1$ esdevé:

$$S_{\infty}=\frac{-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}$$

Exemple 5

Troba el terme general de la successió: $\frac{1}{2},\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}...$ troba també la suma dels $\infty$ termes.

Per la successió anterior veiem que és geomètrica de raó $r=\frac{1}{2}$. Per tant, anem a trobar-ne el terme general:

$$\begin{align} a_n&=a_1 \cdot r^{n-1}\\ a_n&=\frac{1}{2}\cdot \big(\frac{1}{2}\big)^{n-1}\\ a_n&=\big(\frac{1}{2}\big)^n \end{align}$$

Per trobar la suma dels $\infty$ primers termes només cal aplicar la fòrmula:

$$\begin{align} S_{\infty}&=\frac{a_1}{1-r}\\ S_{\infty}&=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\\ S_{\infty}&=1\\ \end{align}$$

Successions monòtones

Anem a veure com són les successions estudiant-ne els seus termes. Ens podem trobar en diferents casos:

1. Diem que una successió $a_n$ és creixent si $a_{n+1}>a_{n}$ per a qualsevol valor de $n$.
2. Diem que una successió $a_n$ és decreixent si $a_{n+1}<a_{n}$ per a qualsevol valor de $n$.
3. Diem que una successió $a_n$ és constant si $a_{n+1}=a_{n}$ per a qualsevol valor de $n$.
4. Diem que una sucessió és oscil.lant si per exemple $a_1<a_2$, $a_2>a_3$, $a_3<a_4$, $a_4>a_5$, etc.
5. Podem trobar també sucessions que no siguin cap de les anteriors.

Si una successió és creixent o decreixent direm que és una sucessió monótona.

També podeu sentir que una sucessió és estrictament creixent (o decreixent). Ho serà si $a_{n+1}>a_n$ ($a_{n+1}<a_n$), en canvi si es compleix que $a_{n+1}\ge a_n$ ($a_{n+1} \le a_n$) llavors diem que la successió és creixent (o decreixent).

Exemple 6

Demostreu que la successió $a_n=\frac{n}{n+1}$ és monòtona creixent.

Per fer-ho, hem de veure que:

$$\begin{align} a_{n+1}&\ge a_n\\ \frac{n+1}{(n+1)+1} &\ge \frac{n}{n+1}\\ \frac{n+1}{n+2} &\ge \frac{n}{n+1}\\ (n+1)^2 &\ge n(n+2)\\ n^2+2n+1&\ge n^2+2n\\ 1&\ge0 \end{align}$$

Veiem que sí que es compleix la desigualtat. Per tant, és una successió monòtona creixent.

Successions fitades

Anem a definir un parell de conceptes:

1. Diem que una successió està fitada inferiorment si tots els membres de la successió són més grans o iguals que un nombre real $k$: $a_n\ge k, \forall n \in \mathbb{N}, k\in \mathbb{R}$.Diem que $k$ és una fita inferior de la successió.
2. Diem que una successió està fitada superiorment si tots els membres de la successió són més petits o iguals que un nombre real $k$: $a_n\le k, \forall n \in \mathbb{N}, k\in \mathbb{R}$. Diem que $k$ és una fita superior de la successió.
3. Si una successió està fitada superiorment i inferiorment diem que és una successió fitada.

Exemple 7

Demostreu que la successió $a_n=\frac{n^2+1}{n}$ no està fitada.

Per demostrar això hem de veure que donat un valor de $k$ arbitràriament gran sempre podem trobar un valor de $n$ pel qual el terme $a_n$ sigui més gran que $k$.

Veiem que:

$$a_n=\frac{n^2+1}{n}=n+\frac{1}{n}$$

Dels dos sumands anteriors, ja veiem que el segon es fa molt petit fins arribar quasi a $0$, però el primer sumand, $n$ pot créixer arbritràriament. Per tant, acabem de demostrar que la successió anterior no està fitada.

Límit d'una succesió

En l'apartat anterior hem vist que existeixen successions fitades inferiorment i fitades superiorment. Pensem en un exemple concret de successió decreixent: $a_n=\frac{1}{n}$. Si escrivim uns quants termes: $1,\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4},...$. Veiem que a mida que $n$ es fa molt gran, els termes cada vegada són més petits. Aquesta successió és evidentment fitada. Anem a pensar ara algunes fites inferiors. Una fita inferior seria $k_1=-1$ perquè tots els termes de la successió són més grans que aquest nombre. Una altra fita inferior també podria ser $k_2=-2$, perquè es dóna el mateix cas. Però quina seria la més gran de les fites inferiors quan $n$ es fa molt gran? Si ho pensem una mica veiem que és $K=0$.

En l'exemple anterior de successió decreixent, veiem que tots els termes s'acosten cada vegada més a $0$ quan $n$ es fa molt gran. Diem doncs que el límit de la successió $a_n=\frac{1}{n}$ és 0.

El mateix podem fer amb una successió creixent, si aquesta està fitada superiorment, la més petita de les fites superiors és el límit de la sucessió quan $n$ es fa molt i molt gran. Podries donar algun exemple?

Definició de límit

Hi ha una manera més formal de definir límit d'una successió. Anem a veure-ho.

Donada una sucessió de nombres reals ${a_n}$, diem que $l$ és el límit d'aquesta successió si per qualsevol nombre real $\epsilon>0$ existeix un enter positiu $N$ depenent de $\epsilon$ tal que: per $n \ge N \Rightarrow |a_n-l|<\epsilon$.

Dit amb paraules planeres, a partir d'un cert índex de la successió, la diferència entre els termes i el límit es fa arbitràriament petita. Això s'escriu de la següent manera:

$$\lim_{n\to\infty} a_n=l$$

No totes les successions tenen un límit. En l'exemple anterior, veiem clarament que:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$$

Però si considerem la successió $a_n=n\Rightarrow 1,2,3,4,5,6,....$ veiem de seguida que:

$$\lim_{n\to\infty}n=+\infty$$

Aquest límit no és numèric, la successió tendeix a més infinit, que no és cap nombre.

D'aquí podem deduir vàries coses:

1. Diem que una sucessió és convergent si té com a límit un nombre real. Si el límit és $\pm \infty$ diem que la sucessió és divergent.
2. Les successions creixents i fitades superioment sempre tenen límit. Aquest límit és la més petita de les fites superiors.
3. De la mateixa manera, les succesions decreixents i fitades inferiorment també tenen límit. Aquest límit és la més gran de les fites inferiors.

Operacions amb Successions

1. Suma de successions

   Donades dues successions $\{a_n\}$ i $\{b_n\}$, la successió suma s'obté sumant terme a terme les successions:

   $$\{a_n+b_n\}=\{a_n\}+\{b_n\}$$

2. Diferència de successions

   Donades dues successions $\{a_n\}$ i $\{b_n\}$ podem calcular la successió diferència restant terme a terme les successions:

   $$\{a_n-b_n\}=\{a_n\}-\{b_n\}$$

3. Producte de successions

   Donades dues successions $\{a_n\}$ i $\{b_n\}$, la successió producte s'obté multiplicant terme a terme les successions:

   $$\{a_n \cdot b_n\}=\{a_n\}\cdot \{b_n\}$$

4. Quocient de successions

   Donades dues successions $\{a_n\}$ i $\{b_n\}$, amb la condició que $\{b_n\}$ no s'anul.li en cap terme, la successió quocient s'obté dividint terme a terme les successions:

   $$\{ \frac{a_n}{b_n} \} = \frac{ \{ a_n \} }{ \{ b_n \} }$$

   Com sabem si una sucessió quocient s'anul.la alguna vegada? Doncs buscant els zeros en el denominador.

Exemple 7

Troba les successions suma, diferència, producte i quocient de: $\{a_n\}=n-3$ i $\{b_n\}=\frac{1}{n+2}$:

$$\begin{align} a_n+b_n &= n-3+\frac{1}{n+2}=\frac{(n-3)(n+2)+1}{n+2}=\frac{n^2+2n-3n-6+1}{n+2}=\frac{n^2-n-5}{n+2}\\ a_n-b_n &= n-3-\frac{1}{n+2}=\frac{(n-3)(n+2)-1}{n+2}=\frac{n^2+2n-3n-6-1}{n+2}=\frac{n^2-n-7}{n+2}\\ a_n \cdot b_n &= (n-3)\cdot \frac{1}{n+2}=\frac{n-3}{n+2}\\ \frac{a_n}{b_n} &= (n-3)\div \frac{1}{n+2}=(n-3)(n+2) \end{align}$$

NOTA:

Si dues successions són convergents ,la successió suma, diferència, producte o quocient que se'n resulti també serà convergent.

Càlcul de límits

Estudiarem aquí diferents mètodes per al càlcul de límits. Veient les operacions amb successions explicades anteriorment, si dues successions $\{a_n\}$ i $\{b_n\}$ són convergents, que és el mateix que dir que existeix el seu límit, les successions obtingudes de fer-ne la suma, la diferència, el producte i el quocient també seran convergents i tindran un límit segons:

1. $\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n\pm \lim_{n\to\infty}b_n$
2. $\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n\cdot \lim_{n\to\infty}b_n$
3. $\lim_{n\to\infty}(\frac{a_n}{b_n})=\frac{\lim_{n\to\infty}a_n}{\lim_{n\to\infty}b_n}$

Límit d'un quocient

Volem calcular el límit d'una expressió del tipus $\frac{P(n)}{Q(n)}$ on $P$ i $Q$ són polinomis en $n$. Abans de calcular-ho fem un pas previ i anem a calcular què val el límit d'una expressió del tipus: $\frac{A}{n^P}$ on $A \in \mathbb{R}$ i $p \in \mathbb{N}$.

Recordeu que:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$$

per tant:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{A}{n^P}=0=\lim_{n\to\infty}(A\cdot \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n}... \text{p vegades})=A\cdot \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\cdot \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\cdot \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}...\text{p vegades}=A\cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0...=0$$

Així doncs, el mètode per calcular un límit del tipus $\lim_{n\to\infty}\frac{P(n)}{Q(n)}$ serà dividir numerador i denominador per la màxima potència de $n$. Anem a veure un exemple.

Exemple 8

$$\lim_{n\to\infty}\frac{3n^3+4n^2-8n+7}{2n^3-8n^2+n-8}=\lim_{n\to\infty}\frac{3n^3/n^3+4n^2/n^3-8n/n^3+7/n^3}{2n^3/n^3-8n^2/n^3+n/n^3-8/n^3}=\lim_{n\to\infty}\frac{3+4/n-8/n^2+7/n^3}{2-8/n+1/n^2-8/n^3}=\frac{3+0-0+0}{2-0+0-0}=\frac{3}{2}$$

D'aquí es poden deduir 3 coses quan calculem $\lim_{n\to\infty}\frac{P(n)}{Q(n)}$:

1. Si grau $P(n)=$grau $Q(n)$, el límit del quocient és el quocient de coeficients dels termes de major grau de $P(n)$ i $Q(n)$, com a l'exemple anterior.
2. Si grau $P(n)>$grau $Q(n)$, el límit del quocient és $\pm \infty$ depenent del signe del coeficient de més grau del numerador i del signe del coeficent de més grau del denominador.
3. Si grau $P(n)<$grau $Q(n)$, el límit del quocient és 0.

Nota: A partir d'ara prescidirem del símbol $n\to\infty$ en el càlcul dels límits

Límit d'una potència

$$lim(a_n)^{b_n}=\big(lim \qquad a_n \big)^{lim (b_n)}$$

Exemple 9

$$lim \Big( \sqrt{\frac{7-n}{n^2+1}} \Big)^{\frac{n-2}{n}}=lim \sqrt{\frac{7-n}{n^2+1}}=lim \big( \frac{7-n}{n^2+1}\big)^{\frac{1}{2}}=0^\frac{1}{2}=0$$

Operacions amb $\infty$

Quan calculem el límit d'una successió composta (això és, una successió que s'ha obtingut operant dues o més successions) ens podem trobar que a l'hora de calcular-ne el resultat ens surti algun $\infty$. A continuació llistem els casos més comuns i la seva resolució:

1. $a\pm \infty=\pm \infty$ on $a \in \mathbb{R}$
2. $\infty + \infty = + \infty$
3. $-\infty - \infty = - \infty$
4. $\frac{a}{\pm \infty}=0$ on $a \in \mathbb{R}$
5. $\frac{a}{0}=\infty$ on $a \in \mathbb{R}$
6. $+\infty \cdot (-\infty)=-\infty$
7. $+\infty \cdot (+\infty)=+\infty$
8. $a\cdot (\pm \infty)=\pm \infty$ on $a \in \mathbb{R}$

Indeterminacions

No obstant, hi ha un tipus d'expressions que matemàticament no es poden calcular. S'anomenen indeterminacions. Aquestes són:

1. $\frac{\infty}{\infty}$
2. $\frac{0}{0}$
3. $\infty-\infty$
4. $0\cdot \infty$
5. $1^\infty$
6. $0^0$
7. $\infty^0$

Cadascuna d'aquestes indeterminacions té un mètode concret de resolució. Per exemple, en el cas de fraccions algebraiques com les de l'exemple 8, si substituïm $n$ per $\infty$ a la seva expressió obtenim la indeterminació $\frac{\infty}{\infty}$ però ja hem vist que aquesta es pot resoldre dividint numerador i denominador per la potència màxima de $n$. Aquí només veurem com resoldre les indeterminacions $\infty -\infty$ i $1^\infty$.

Indeterminació $\infty-\infty$

En general la resoldrem multiplicant i dividint pel conjugat. Vegem-ne un exemple.

Exemple 10

$$\begin{align} lim(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})&=\sqrt{+\infty}-\sqrt{+\infty}=+\infty-\infty=ind\\ &=lim\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\\ &=lim\frac{(\sqrt{n+1})^2-(\sqrt{n})^2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\\ &=lim\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\\ &=lim\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\\ &=\frac{1}{\infty + \infty}=0\\ \end{align}$$

Indeterminació $1^\infty$

Anem a veure quina forma té el límit següent:

$$\lim_{n\to\infty}\Big( 1+ \frac{1}{n}\Big)^n=(1+0)^{+\infty}=1^{+\infty}=ind$$

Primer de tot, per a calcular aquest límit, mirarem si la successió és fitada i en cas afirmatiu, si és convergent. Calculem ara els 10 primers termes:

$$\begin{align} a_1&=\Big(1+\frac{1}{1} \Big)^1=2\\ a_2&=\Big(1+\frac{1}{2} \Big)^2=\Big(\frac{3}{2}\Big)^2=\frac{9}{4}=2.25\\ a_3&=\Big(1+\frac{1}{3} \Big)^3=\Big(\frac{4}{3}\Big)^3=\frac{64}{27}\sim 2.3703\\ a_4&=\Big(1+\frac{1}{4} \Big)^4=\Big(\frac{5}{4}\Big)^4=\frac{625}{256}\sim 2.4414\\ a_5&=\Big(1+\frac{1}{5} \Big)^5=\Big(\frac{6}{5}\Big)^5=\frac{7776}{3125}=2.48832\\ a_6&=\Big(1+\frac{1}{6} \Big)^6=\Big(\frac{6}{5}\Big)^6=\frac{117649}{46656}\sim 2.5216\\ a_7&=\Big(1+\frac{1}{7} \Big)^7=\Big(\frac{8}{7}\Big)^7=\frac{2097152}{823543}\sim 2.5464\\ a_8&=\Big(1+\frac{1}{8}\Big)^8=\Big(\frac{9}{8}\Big)^8=\frac{43046721}{16777216}\sim 2.5657\\ a_9&=\Big(1+\frac{1}{9} \Big)^9=\Big(\frac{10}{9}\Big)^9=\frac{10^9}{387420490}\sim 2.5811\\ a_10&=\Big(1+\frac{1}{10} \Big)^10=\Big(\frac{11}{10}\Big)^{10}=1.1^{10}\sim 2.5937\\ ... \end{align}$$

Si calculéssim més termes veuríem que és una successió monòtona creixent i fitada. Podríem establir $3$ com a fita superior i $2$ com a fita inferior. Per tant, aquesta successió ha de tenir límit. Es pot demostrar que el límit existeix i és el nombre $e=2.71828...$. Per tant:

$$\lim_{n\to\infty}\Big( 1+ \frac{1}{n}\Big)^n=e$$

La indeterminació $1^\infty$ engloba a totes les indeterminacions: $1^{+\infty}$, $1^{-\infty}$, $(-1)^{+\infty}$ i $(-1)^{-\infty}$. Quan donada una successió $a_n$ el seu límit és alguna de les indeterminacions anteriors, intentarem transformar $a_n$ amb una expressió del tipus $\Big( 1+\frac{1}{A} \Big)^A$ on $A$ és una expressió algebraica en $n$. Això ho fem perquè llavors:

$$\lim_{n\to\infty}\Big( 1+ \frac{1}{A}\Big)^A=e$$

Anem a veure'n un exemple per entendre-ho millor:

Exemple 11

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty}\Big( \frac{n+1}{n+2}\Big) ^{n^2+3} &=1^{+\infty}=ind\\ \lim_{n\to\infty}\Big( \frac{n+1}{n+2}\Big) ^{n^2+3} &=\lim_{n\to\infty}\Big( 1+\frac{n+1}{n+2}-1\Big) ^{n^2+3} = \lim_{n\to\infty}\Big( 1+\frac{-1}{n+2}\Big) ^{n^2+3} = \lim_{n\to\infty}\Big( 1+\frac{1}{\frac{n+2}{-1}}\Big) ^{n^2+3}\\ &=\lim_{n\to\infty}\Big( 1+\frac{1}{\frac{n+2}{-1}}\Big) ^{(n^2+3)\cdot \frac{n+2}{-1}\cdot \frac{-1}{n+2}}\\ &=e^{\lim_{n\to\infty}(n^2+3)\cdot \frac{-1}{n+2}}=e^{\lim_{n\to\infty}\frac{-n^2-3}{n+2}}=e^{-\infty}=\frac{1}{+\infty}=0 \end{align}$$