Tema 6: Rectes en el pla

Aquest curs començarem amb la geometria analítica en el pla. Aquesta part de la geometria estudia els objectes geoomètrics en el pla cartesià.

Equacions de la recta

En cursos anteriors ja havíem representat rectes en el pla cartesià mitjançant la seva expressió afí $y=f(x)=mx+n$, on $m$ era el pendent de la recta i $n$ l'ordenada a l'origen. Aquest curs veurem altres expressions de la recta que ens seran útils en situacions analítiques diferents.

Equació vectorial

Podem expressar qualsevol punt d'una recta donat un punt qualsevol d'aquesta i la seva direcció. Sigui $P=(x_0,y_0)$ un punt qualsevol d'una recta $r$ i $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$ un vector amb la direcció de la recta, qualsevol punt $X=(x,y)$ d'aquesta recta es pot expressar com:

$$(x,y)=(x_0,y_0)+\lambda(v_1,v_2)$$

on $\lambda$ és un nombre real. Anomenem aquesta expressió l'equació vectorial de la recta, i el vector $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$ és el seu vector director.

Equacions paramètriques

Si desenvolupem l'equació vectorial component a component, obtenim les equacions paramètriques de la recta:

$$\begin{cases} x = x_0+\lambda v_1 \\ y = y_0 + \lambda v_2 \end{cases}$$

Equació contínua

Si aïllem el paràmetre $\lambda$ de les dues equacions i les igualem, obtenim l'equació contínua de la recta:

$$\frac{x-x_0}{v_1}=\frac{y-y_0}{v_2}$$

Aquesta forma de l'equació només és possible si les coordenades del vector director de la recta $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$ són diferents de zero.

Equació general o implícita

Si continuem operant, i ho passem tot al costat esquerra i igualem a zero obtenim que:

$$v_2(x-x_0)=v_1(y-y_0)\rightarrow v_2 x-v_1 y-v_2 x_0 + v_1 y_0=0$$

I si fem les definicions següents:

$$\begin{cases} A \equiv v_2 \\ B \equiv -v_1 \\ C \equiv (-v_2 x_0+v_1 y_0) \end{cases}$$

tenim l'equació general o implícita de la recta:

$$Ax+By+C=0$$

Per trobar un punt que pertanyi a aquesta recta n'hi ha prou per donar un valor arbitrari a $x$ i calcular-ne la $y$. El vector director de la recta serà (tenint en compte la substitució anteriorment feta):

$$\overrightarrow{v}=(-B,A)$$

Equació explícita

A partir d'aquí podem aïllar $y$ en un costat i trobar l'equació explícita de la recta amb la que començàvem el capítol:

$$y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$$

Si redefinim els coeficients obtenim:

$$y=mx+n \begin{cases} m \equiv -\frac{A}{B} \\ n \equiv -\frac{C}{B} \\ \end{cases}$$

Anem a veure ara què representa el pendent $m$:

$$m=-\frac{A}{B}=\frac{v_2}{v_1}$$

El pendent és el quocient entre les components $y$ i $x$ del vector director de la recta, i si mirem el gràfic següent:

Veiem que el pendent $m$ és la tangent de l'angle que forma el vector director de la recta amb l'eix $OX$. Això vol dir que per rectes paral.leles a l'eix $OX$ el seu pendent serà $tg (0^o)=0$ i per rectes paral.leles a l'eix $OY$ el seu pendent serà màxim: $tg ( 90^0)=\infty$.

Posicions relatives entre dues rectes

Rectes paral.leles

En cursos anteriors havíem vist que dues rectes eren paral.leles si tenien el mateix pendent, o sigui, igual $m$. Ara que ja coneixem els vectors també podem dir que dues rectes són paral.leles si tenen el mateix vector director o si els seus vectors directors són linealment dependents (l'un és l'altre multiplicat per un nombre). Anem-ho a veure algebraicament:

$$\begin{align} r:& \quad Ax+By+C=0 \Rightarrow \overrightarrow{v_r}=(-B,A) \Rightarrow m_r=\frac{A}{-B}=\frac{-A}{B}\\ s:& \quad A^\prime x+ B^\prime y+ C^ \prime= 0 \Rightarrow \overrightarrow{v_s}=(-B^\prime,A^\prime) \Rightarrow m_s=\frac{A^\prime}{-B^\prime}=\frac{-A^\prime}{B^\prime} \end{align}$$

Seran paral.leles si:

$$\begin{align} m_r&=m_s\\ -\frac{A}{B}&=-\frac{A^\prime}{B^\prime} \\ \frac{A}{A^\prime}&=\frac{B}{B^\prime} \end{align}$$

Òbviament si aquesta igualtat no es compleix les rectes seran secants i caldrà buscar el seu punt de tall resolent el sistema d'equacions.

Rectes coincidents

Si a més a més es compleix:

$$\frac{A}{A^\prime}=\frac{B}{B^\prime}=\frac{C}{C^\prime}$$

$r$ i $s$ seran la mateixa recta.

Exemple 1

Troba l'equació de la recta $s$ que passa pel punt $P(4,3)$ i és paral.lela a la recta $r$: $5x+3y+6=0$.

El vector director de la recta $r$ és $\overrightarrow{v_r}=(-B,A)=(-3,5)$. Si la recta $s$ és paral.lela necessàriament ha de tenir el mateix vector director, pertant, $A$ i $B$ seran les mateixes:

$$5x+3y+C=0$$

La $C$ la trobarem subtituint a l'equació el punt donat:

$$P(3,4)\Rightarrow 5\cdot 4+3\cdot 3+C=0 \Rightarrow C=-29$$

Per tant, l'equació de la recta és: $5x+3y-29=0$

Rectes perpendiculars

Tornem a considerar dues rectes i anem a veure què ha de passar per tal que siguin perpendiculars:

$$\begin{align} r:& \quad Ax+By+C=0 \Rightarrow \overrightarrow{v_r}=(-B,A) \\ s:& \quad A^\prime x+ B^\prime y+ C^ \prime= 0 \Rightarrow \overrightarrow{v_s}=(-B^\prime,A^\prime) \end{align}$$

$r$ i $s$ seran rectes perpendiculars si els seus vectors directors són ortogonals, això és, formen un angle de $90^o$. S'haurà de complir, per tant, que el seu producte escalar sigui zero. Això és:

$$\overrightarrow{v_r}\cdot\overrightarrow{v_s}=AA^\prime+B B^\prime=0$$

Donada una recta qualsevol, per trobar-ne una recta perpendicular només caldrà escriure un vector director que al efectuar el producte escalar doni zero.

Exemple 2

Troba l'equació de la recta perpendicular a la recta $r:2x+3y-5=0$ que passa pel punt $P(1,2)$.

El vector director de la recta $r$ és $\overrightarrow{v}(-3,2)$. Un vector ortogonal a $\overrightarrow{v}$ seria $\overrightarrow{u}=(2,3)$ ja que el seu producte escalar dóna zero: $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=-3\cdot 2+2\cdot (3)=0$.

Per tant, la recta perpendicular tindria $B=-2$ i $A=3$. Ara només ens falta demanar que passi pel punt $P(1,2)$ per trobar $C$:

$$3x-2y+C=0\rightarrow 3\cdot 1-2\cdot 2+C=0\rightarrow C=1$$

Per tant, la recta que estem buscant és:

$$3x-2y+1=0$$

Projecció ortogonal d'un punt sobre una recta

Donats un punt $P$ que no pertant a una recta i una recta $r$ qualsevol, sempre podem trobar la projecció ortogonal d'aquest punt sobre la recta. Ho entendrem millor amb un dibuix:

$P_0$ és la projecció ortogonal de $P$ sobre la recta $r$. També això ens dóna un punt $P^\prime$ que és el punt simètric de $P$ sobre la recta $r$. $P$ i $P^\prime$ estan a la mateixa distància de la recta $r$.

Per trobar $P_0$ i $P^\prime$ farem el següent:

1. Buscarem l'equació de la recta perpendicular a $r$ que passa per $P$.
2. Buscarem el punt de tall de les dues rectes resolent el sistema d'equacions i ja tindrem $P_0$
3. Per trobar les coordenades de $P^\prime$ utilitzarem la fórmula del punt mig d'un segment que vam veure en el tema anterior.

Anem a veure-ho amb un exemple.

Exemple 3

Troba la projecció ortogonal del punt $P(1,2)$ sobre la recta $r:3x+2y-1=0$.

$$\left.\begin{aligned} r&:3x+2y-1=0 \rightarrow \overrightarrow{v}_r(-2,3)\\ s&:Ax+By+C=0 \rightarrow \overrightarrow{v}_s(-B,A) \end{aligned} \right\} \overrightarrow{v}_r \cdot \overrightarrow{v}_s=0 \rightarrow 2B+3A=0 \rightarrow\text{ Solució possible: } B=-3, A=2$$

Per tant, tindríem que $s:2x-3y+C=0$, per trobar $C$ només cal substituir el punt $P(1,2)$ en l'equació i obtindrem que $C=4$.

L'equació de la recta $s$ és $2x-3y+4=0$.

Ara ens cal trobar la projecció ortogonal del punt $P$ sobre la recta $r$, això és, el punt de tall de les dues rectes. Ens cal solucionar el sistema següent:

$$\left.\begin{aligned} 3x+2y-1&=0\\ 2x-3y+4&=0 \end{aligned} \right\} \rightarrow ... \rightarrow x=\frac{-5}{13}, y=\frac{14}{13}$$

$P_0=(\frac{-5}{13},\frac{14}{13})$

D'aquí també podem trobar el punt simètric de $P$ respecte la recta $r$, $P^\prime$. Del tema anterior sabem que per trobar el punt mig d'un segment només ens cal saber les coordenades dels punts dels extrems. Les coordenades del punt mig es troben fent la semisuma de les components x i y dels punts extrems. Anem a veure-ho en aquest cas:

$$\left.\begin{aligned} P &=(1,2)\\ P_0 &=\Big(\frac{-5}{13},\frac{14}{13}\Big)\\ P^\prime &=(x,y) \end{aligned} \right\} \rightarrow \Big(\frac{-5}{13}, \frac{14}{13}\Big)=\Big(\frac{1+x}{2},\frac{2+y}{2}\Big)\rightarrow ... \rightarrow P^\prime=\Big(\frac{-23}{13},\frac{2}{13}\Big)$$

Per tant el punt simètric de $P$ respecte la recta $r$ és $P^\prime=\Big(\frac{-23}{13},\frac{2}{13}\Big)$

Angle entre dues rectes

Donades dues rectes $r$ i $s$, si són secants podem definir l'angle entre elles dues com l'angle $\alpha \le 90^o$:

o sigui, dels dos angles que es formen, el més petit. Si ens hi fixem, es compleix que: $\alpha=180-\beta$. Com que $cos(\alpha)=-cos(180-\alpha)$, per trobar l'angle apliquem la fórmula del producte escalar entre dos vectors i demanem que el cosinus sigui positiu:

$$cos \alpha=\frac{|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}|\cdot|\overrightarrow{v}|}$$

on $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$ són els vectors directors de les rectes $r$ i $s$ respectivament.

Distàncies

Distància entre dos punts

La distància entre dos punts es defineix com el mòdul del vector entre aquests dos punts. Si tenim un punt $P(x_0,y_0)$ i un punt $Q(x_1,y_1)$ la distància entre $P$ i $Q$ es defineix com:

$$d(P,Q)=|\overrightarrow{PQ}|=|\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}|$$

Distància d'un punt a una recta

Es defineix la distància d'un punt $P$ a una recta $r:Ax+By+C=0$ com la longitud del segment perpendicular que uneix el punt amb la recta. Per calcular-la n'hi hauria prou amb trobar la projecció ortogonal del punt sobre la recta, diem-li $P^\prime$, i fer el mòdul del vector entre els 2 punts, o sigui $|\overrightarrow{PP^{\prime}}|$. Això potser resultaria una mica llarg i existeix una fòrmula més compacta per trobar-ho. Anem-la a deduir. Fixem-nos amb el dibuix de sota:

A part dels punt $P(x_0,y_0)$ i la seva projecció ortogonal sobre $r$, $P'$, considerem també un punt $Q(x_1,y_1)$ pertanyent a la recta. El triangle $QP^\prime P$ és rectangle en $P^\prime$. Sabent això tenim que:

$$d(P,r)=d(P,P^\prime)=|\overrightarrow{PP^\prime}|=||\overrightarrow{QP}|\cdot cos \alpha|$$

on $\alpha$ és l'angle que forma el segment $\overline{PP^\prime}$ amb el segment $\overline{QP}$.

Considerem ara un vector unitari (mòdul 1) perpendicular a $r$, diem-li $\overrightarrow{u}$.

Si ens tornem a fixar en el gràfic, el vector $\overrightarrow{QP}$ i el vector $\overrightarrow{u}$ formen un angle $\beta=\alpha$. Per tant, si ara calculem el producte dels vectors $\overrightarrow{QP}$ i $\overrightarrow{u}$ tenim que:

$$\overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{u}=|\overrightarrow{QP}|\cdot |\overrightarrow{u}|\cdot cos \alpha=|\overrightarrow{QP}|cos \alpha$$

ja que $|\overrightarrow{u}|=1$ perquè és unitari.

Si ajuntem les dues expressions anteriors tenim que:

$$d(P,r)=|\overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{u}|$$

D'altra banda, si $\overrightarrow{v}=(-B,A)$ és el vector director de $r$, perquè $\overrightarrow{u}$ sigui unitari i perpendicular a $\overrightarrow{v}$ (això és, $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$) ha de tenir necessàriament la forma:

$$\overrightarrow{u}=\frac{1}{\sqrt{A^2+B^2}}(A,B)=\Big( \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}, \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} \Big)$$

Agafant $\overrightarrow{QP}=(x_0-x_1,y_0-y_1)$ i substituïnt això a l'expressió de la distància tenim que:

$$d(P,r)=|\overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{u}|=|\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\cdot (x_0-x_1)+\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\cdot (y_0-y_1)|=\frac{|Ax_0+By_0-Ax_1-By_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

ja que si $Q(x_1,y_1) \in r$ necessàriament ha de complir l'equació de la recta: $Ax_1+By_1+C=0 \rightarrow C=-Ax_1-By_1$.

Així doncs, la distància d'un punt $P(x_0,y_0)$ a una recta $r:Ax+By+C=0$ ve donada per:

$$\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Distància entre dues rectes

Si les dues rectes es tallen, la seva distància serà $0$. En cas de tenir dues rectes paral.leles (ho sabrem si els seus vectors directors són proporcionals, o sigui, linealment dependents), calcularem la seva distància a partir de la fòrmula anterior. Només ens caldrà saber l'equació d'una de les rectes i un punt que pertanyi a una de les dues rectes.

Segons el gràfic:

$$d(r,s)=d(P,r)=d(Q,s)$$