Tema 7: Llocs geomètrics

Introducció

Un lloc geomètric és un conjunt de punts que compleixen una certa propietat. Per exemple, la bisectriu d'un segment és el lloc geomètric dels punts que equidisten dels 2 extrems del segment. En aquest tema estudiarem 4 llocs geomètrics: la circumferència, l'el.lipse, la paràbola i l'hipèrbola. Segurament alguns d'aquests llocs geomètrics ja els coneixeu des de primària, però els estudiarem des d'una perspectiva geomètrica diferent.

Aquests llocs geomètrics també s'anomenen Còniques. Això és perquè es poden obtenir tallant una superfície cònica doble mitjançant diversos plans.

La circumferència

La circumferència és el lloc geomètric dels punts del pla que equidisten d'un mateix punt anomenat centre.

Considerem ara una circumferència de centre $C(a,b)$ i radi $r$. Anem a veure quina equació han de complir els punts d'aquesta circumferència, $P(x,y)$. Si pensem en el triangle rectangle anterior, el catet de la base mesura necessàriament $x-a$ i el catet de l'altura $y-b$. Si apliquem el teorema de Pitàgores es compleix que:

$$(x-a)^2+(x-b)^2=r^2$$

Aquesta és l'equació reduïda de la circumferència de centre $C(a,b)$ i radi $r$.

Si desenvolupem aquesta equació fent els quadrats obtenim:

$$\left.\begin{aligned} x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2&=0\\ m \equiv -2a \\ n \equiv -2b \\ p \equiv a^2+b^2-r^2 \end{aligned} \right\} \rightarrow x^2+y^2+mx+ny+p=0$$

Per tant, amb aquesta nova forma de l'equació d'una circumferència, l'equació general, els coeficients de $x$ i $y$ ens donen el centre de la circumferència $C(a,b)$ i el terme independent $p$ ens donarà el radi.

Exemple 1

Troba el centre i el radi de la circumferència: $x^2+y^2-4x+2y-4=0$.

Els coeficients de $x$ i de $y$ ens donaran el centre de la circumferència:

$$\begin{align} -4=-2a \rightarrow a=2\\ 2=-2b \rightarrow b=-1 \end{align}$$

El centre és doncs el punt $C(2,-1)$. Anem a veure quin serà el radi. Això bé donat pel terme independent de l'equació:

$$-4=a^2+b^2-r^2 \rightarrow -4= 4+1-r^2 \rightarrow r=\sqrt{9}=3$$

Posicions relatives entre recta i circumferència

Donades una recta i una circumferència, ens podem trobar en 3 situacions diferents. El que farem serà resoldre el sistema de dues equacions i dues incògnites format per l'equació de la circumferència per una banda i l'equació de la recta per l'altra. Si considerem que la circumferència té centre $C(a,b)$ i radi $r$ i la recta l'anomenem $s$ tenim que una circumferència i una recta poden ser:

1. Exteriors, no es tallen:

   1. el sistema no té solució
   2. $d(C,s)>r$

2. Tangents, la recta toca a la circumferència en només un punt:

   1. el sistema té només una solució (parella de valors $(x,y)$
   2. $d(C,s)=r$

3. Secants, la recta talla a la circumferència en dos punts:

   1. El sistema té dues solucions o parelles de valors $(x,y)$
   2. $d(C,s)<r$
   3. En aquest cas, diem que la distància entre la circumferència i la recta és $0$ perquè són secants.

Posicions relatives entre circumferències

Considerem dues circumferències amb centres $C$ i $C^\prime$ i radis $r$ i $r^\prime$ respectivament. Les seves equacions formen un sistema de segon grau. Ens podem trobar amb 5 casos diferents:

1. Les circumferències són exteriors, no es tallen:

   1. el sistema no té solució
   2. $d(C,C^\prime)>r+r^\prime$

2. Les circumferències són interiors:

   1. el sistema no té solució
   2. $d(C,C^\prime)<r-r^\prime$
   3. Un cas particular serien les circumferències concèntriques si $C=C^\prime$

3. Les circumferències són tangents exteriors:

   1. El sistema té una solució
   2. $d(C,C^\prime)=r+r^\prime$
4. Les circumferències són tangents interiors:
   1. El sistema té una solució
   2. $d(C,C^\prime)=r-r^\prime$
5. Les circumferències són secants:
   1. El sistema té dues solucions
   2. $r-r^\prime<d(C,C^\prime)<r+r^\prime$

Exemple 2

Trobeu la posició relativa entre les circumferències $x^2+y^2=4$ i $(x-3)^2+(y+5)^2=5$.

La primera circumferència té centre el punt $C(0,0)$ i radi "r=2" i la segona té centre el punt $C^\prime(3,-5)$ i radi $r^\prime=\sqrt{5}$. Si solucionem el sistema veurem que és incompatible. Com que no té solució ara només ens cal veure si són exteriors o interiors:

$$\left.\begin{aligned} d(C,C^\prime)=|\vec{C C^\prime}|=\sqrt{(3-0)^2+(-5-0)^2}=\sqrt{34}\sim 5.83\\ r+r^\prime=2+\sqrt{5}\sim 4.47 \end{aligned} \right\} \rightarrow d(C,C^\prime) > r+r^\prime \rightarrow \text{són exteriors}$$

Posicions relatives entre un punt i una circumferència

En el cas d'un punt $P(x,y)$ i una circumferència de radi $r$ i centre $C(a,b)$ ens podem trobar 3 casos:

1. El punt és exterior a la circumferència: $d(P,C)>r$
2. El punt pertany a la circumferència: $d(P,C)=r$
3. El punt és interior a la circumferènccia: $d(P,C)<r$

Exemple 3

Donat el punt $P(9,-1)$ exterior a la circumferència $x^2+(y+4)^2=9$, trobeu les rectes tangents a la circumferència des d'aquest punt.

Anem a veure si entenem el problema. Sempre que tinguem un punt exterior a una circumferència es poden traçar dues rectes tangents des del punt fins a la circumferència.

1. Per començar ens cal trobar l'equació del feix de rectes que passen pel punt $P(9,-1)$:

   • Sabem que l'equació de la recta té la forma $y=mx+n$. Totes les rectes que passen pel punt $P(9,-1)$ tenen la forma:

   $$-1=9m+n \Rightarrow n=-1-9m \Rightarrow y=mx-1-9m \Rightarrow y=m(x-9)+1 \Rightarrow m(x-9)-y-1=0$$

2. Una manera de solucionar el problema és exigir que la distància de la recta al centre de la circumferència sigui igual al radi i d'aquesta manera ens assegurem que recta i circumferència són tangents.

   • Anem a imposar aquesta condició:

   $$d(recta, C)=\frac{|m(0-9)+4-1|}{\sqrt{m^2+(-1)^2}}=3$$

   • Per a solucionar una equació amb valors absolut hem de considerar els 2 casos possibles:

   $$\frac{|3-9m|}{\sqrt{m^2+1}}=3 \begin{cases} \frac{3-9m}{\sqrt{m^2+1}}=3 \\ \frac{3-9m}{\sqrt{m^2+1}}=-3 \end{cases}$$

   • Agafem i desenvolupem la solució positiva:

   $$\begin{align} \frac{3-9m}{\sqrt{m^2+1}}&=3\\ (3-9m)^2&=(3\sqrt{m^2+1})^2\\ 81m^2-54m+9&=9m^2+9\\ 72m^2-54m&=0\\ 18m(4m-3)&=0 \begin{cases} m=0 \\ m=\frac{3}{4} \end{cases} \end{align}$$

   • Fixeu-vos que si agafem l'opció negativa obtenim les mateixes solucions, ja que a l'elevar al quadrat el signe negatiu esdevé positiu.

3. Una altra manera de resoldre el problema és, fer que el sistema format per les equacions de la recta tangent i la circumferència tingui solució única, perquè si tingués solució doble voldria dir que la recta és secant i no tangent a la circumferència.

   • Solucionem el sistema per substitució:

   $$\left.\begin{aligned} y=m(x-9)-1\\ x^2+(y+4)^2=9 \end{aligned} \right\} \Rightarrow x^2+\Big( m(x-9)-1+4 \Big)^2=9 \Rightarrow ... \Rightarrow (1+m^2)x^2+2m(3-9m)x+(3-9m)^2-9=0$$

   • Ara ens cal exigir que només hi hagi una parella de valors $(x,y)$ que siguin solució. Per fer-ho, igualarem el discriminant de l'equació de segon grau ($b^2-4ac$) a zero:

   $$\begin{align} \Big(2m(3-9m)\Big)^2-4(1+m^2)\Big((3-9m)^2-9\Big)&=0\\ 4m^2(3-9m)^2-(4+4m^2)(9+81m^2-54m-9)&=0\\ 4m^2(9+81m^2-54m)-324 m^2+216m-324 m^4+216 m^3&=0\\ 36m^2+324m^4-216m^3-324 m^2+216m-324 m^4+216m^3&=0\\ 216m-288m^2&=0\\ -72m(4m-3)&=0\\ m(4m-3)&=0 \begin{cases} m=0 \\ m=\frac{3}{4} \end{cases} \end{align}$$

   • Evidentment obtenim la mateixa solució.

4. Tant si triem l'opció 1 o la 2, ens caldrà finalment trobar l'equacions de les rectes tangents:

$$y=m(x-9)-1 \begin{cases} m=0 \Rightarrow n=-1 \Rightarrow y= -1 \\ m=\frac{3}{4} \Rightarrow n=-\frac{31}{4} \Rightarrow y= \frac{3}{4}x-\frac{31}{4} \end{cases}$$

Potència d'un punt respecte d'una circumferència

Considerem un punt exterior a una circumferència i tracem dues secants d'aquest punt a la circumferència tal i com mostra el dibuix.

Considerem els triangles $PAB^\prime$ i $PA^\prime B$. Els angles inscrits a la circumferència $B^\prime$ i $A^\prime$ són iguals, $B^\prime=A^\prime$ ja que abarquen el mateix arc de circumferència $\widehat{BA}$. Com que els dos triangles comparteixen un angle $P$, i tenen 2 angles iguals, el tercer ha de ser necessàriament igual (la suma d'angles d'un triangle és sempre $180^o$): $B=A$.

Per tant, si dos triangles tenen els seus 3 angles iguals 2 a 2 vol dir que són triangles semblants i en conseqüència els seus costats seran proporcionals:

$$\frac{PA}{PB}=\frac{PB^\prime}{PA^\prime}\Rightarrow PA\cdot PA^\prime=PB\cdot PB^\prime$$

Aquest producte de distàncies es defineix com a la potència d'un punt respecte una circumferència:

$$p=PA\cdot PA^\prime$$

Considerem ara una recta secant des d'un punt exterior $P(x_0,y_0)$ que passi pel centre d'una circumferència de centre $C(a,b)$ i radi $r$. Definim $d$ com la distància del punt $P$ al centre $C$.

La potència del punt $P$ respecte la circumferència és:

$$\left.\begin{aligned} p&=PA\cdot PA^\prime=(d-r)(d+r)=d^2-r^2\\ d&=|\vec{CP}|=\sqrt{(x_0-a)^2+(y_0-b)^2} \end{aligned} \right\} \Rightarrow p=d^2-r^2=(x_0-a)^2+(y_0-b)^2-r^2$$

Per tant, la potència d'un punt respecte una circumferència ens dóna idea de la situació del punt respecte la circumferència:

$$p=d^2-r^2=(x_0-a)^2+(y_0-b)^2-r^2 \begin{cases} d>r\rightarrow p>0 \Rightarrow \text{p és exterior} \\ d<r\rightarrow p<0 \Rightarrow \text{p és interior} \\ d=r\rightarrow p=0 \Rightarrow \text{p pertany a la circumferència} \end{cases}$$

La paràbola

A 4t d'eso havíeu treballat les paràboles com la representació gràfica d'una funció polinòmica de segon grau del tipus $y=f(x)=ax^2+bx+c$. Vèiem que la paràbola és una funció amb simetria parell i que té un vèrtex amb abcissa $(x=-\frac{b}{2a})$.

La paràbola també es pot entendre però com el lloc geomètric dels punts del pla que equidisten d'un punt $F$ anomenat focus i d'una recta $r$ anomenada directriu.

Si mirem al dibuix hi podem veure els elements següents:

1. Eix de la paràbola: és la recta perpendicular a la directriu que passa pel focus. En el cas específic del dibuix és l'eix $x$.
2. Vèrtex de la paràbola: és el punt d'intersecció de la paràbola amb el seu eix. En aquest cas és el punt $(0,0)$.
3. Paràmetre: és la distància del focus $F$ a la directriu $r$. L'anomenem $p$.

Equació reduïda de la paràbola

Fixem-nos ara en una paràbola com la del dibuix que té el seu eix situat sobre l'eix de les abscisses i el vèrtex a l'origen de coordenades. Com que els punts de la paràbola, i el vèrtex en particular, compleixen la propietat que equidisten del focus i de la directriu, podem afirmar que les coordenades del focus són $F(\frac{p}{2},0)$ i l'equació de la recta directriu és $r:x=-\frac{p}{2}$.

Si $P(x,y)$ és un punt qualsevol de la paràbola es compleix que: $d(P,r)=d(P,F)$:

$$\left.\begin{aligned} d(P,r)&=\frac{|x+\frac{p}{2}|}{\sqrt{0^2+1}}\\ d(P,F)&=|\vec{FP}|=\sqrt{(x-\frac{p}{2})^2+y^2} \end{aligned} \right\} \Rightarrow |x+\frac{p}{2}|=\sqrt{(x-\frac{p}{2})^2+y^2} \Rightarrow x^2+px+\frac{p^2}{4}=x^2-px+\frac{p^2}{4}+y^2$$

Si simplifiquem tenim l'equació reduïda de la paràbola:

$$y^2=2px$$

En cas que l'eix estigui situat sobre l'eix d'ordenades, el focus seria $F(0,\frac{p}{2})$ i l'equació de la recta directriu seria $r:y=-\frac{p}{2}$. L'equació reduïda de la paràbola seria llavors:

$$x^2=2py$$

Equació de la paràbola d'eix paral.lel a l'eix d'abscisses o d'ordenades

Considerem ara que l'eix de la paràbola és paral.lel a l'eix d'abscisses. El vèrtex ha passat de ser el punt $(0,0)$ al punt $(x_0,y_0)$. Si comparem la nova paràbola amb l'anterior, amb eix l'eix de les abscisses i vèrtex el punt $(0,0)$ veiem que els punts $P(x,y)$ de la nova paràbola seran els de la paràbola anterior $P^\prime(x^\prime, y^\prime)$ però amb una translació $x_0$ en $x$ i $y_0$ en $y$:

$$\left.\begin{aligned} x&=x^\prime+x_0\\ y&=y^\prime+y_0\\ \end{aligned} \right\}$$

Per tant, si l'equació de la paràbola "vella" era $y^{\prime 2}=2px^\prime$ si fem el canvi anterior obtenim:

$$(y-y_0)^2=2p(x-x_0)$$

que és l'equació d'una paràbola amb l'eix paral.lel a l'eix d'abscisses i amb vèrtex el punt $(x_0,y_0)$. Si intercanviem $x$ i $y$ obtenim l'equació d'una paràbola amb eix paral.lel a l'eix d'ordenades:

$$(x-x_0)=2p(y-y_0)$$

Si desenvolupem les dues expressions anteriors obtenim l'equació general de la paràbola:

$$\begin{align} (y-y_0)^2&=2p(x-x_0)\\ y^2+y_0^2-2yy_0&=2px-2px_0\\ -2px&=-y^2+2y_0y-y_0^2-2px_0\\ 2px&=y^2-2y_0y+y_0^2+2px_0\\ x&=\frac{1}{2p}y^2-\frac{y_0}{p}y+\big( \frac{y_0^2}{2p}+x_0 \big) \end{align}$$

$$x=ay^2+by+c$$

que és l'equació general d'una paràbola amb l'eix paral.lel a l'eix d'abscisses i on

$$\begin{align} a&=\frac{1}{2p}\\ b&=-\frac{y_0}{p}\\ c&=\frac{y_0^2}{2p}+x_0 \end{align}$$

El mateix podem fer amb una paràbola amb eix paral.lel a l'eix d'ordenades:

$$y=ax^2+bx+c$$

L'el.lipse

L'el.lipse és el lloc geomètric de punts del pla que la suma de distàncies a dos punts fixos anomenats focus és constant i es designa $2a$.

Si mirem el dibuix, podem llistar aquí les característiques de l'el.lipse:

1. Focus: punts $F$ i $F^\prime$ sobre l'eix x.
2. Distància focal: distància entre els 2 focus. Es designa per $2c$: $|\vec{F^\prime F}|=2c$
3. Radis vectors: són els dos segments que uneixen qualsevol punt de l'el.lipse amb cadascun dels focus. La suma dels 2 radis vectors, per definició, és $2a$.
4. Eix focal: recta que passa pels 2 Focus
5. Eix major: és el segment que uneix els punts més allunyats de l'el.lipse, $A$ i $A^\prime$.
6. Eix menor: és el segment que uneix els punts més propers de l'el.lipse, $B$ i $B^\prime$.
7. Centre: és el punt mig del segment $\overline{FF^\prime}$.
8. Vèrtexs: són els punts d'interesecció dels eixos amb l'el.lipse: $A$, $A^\prime$, $B$, $B^\prime$.
9. Excentricitat: $e=\frac{c}{a}$.

Anem a veure quina és la distància entre els dos punts $A$ i $A^\prime$. Com que pertanyen a l'el.lipse compleixen que la suma de les seves distàncies als focus és $2a$:

$$\left.\begin{aligned} \overline{AF}+\overline{AF^\prime}&=2a\\ \overline{A^\prime F}+\overline{A^\prime F^\prime}&=2a \end{aligned} \right\} \overline{AF}+\overline{AF^\prime}+\overline{A^\prime F}+\overline{A^\prime F^\prime}=4a$$

Però també es compleix que: $\overline{AF}+\overline{A^\prime F}=\overline{AF}+\overline{F A^\prime}= \overline{A A^\prime}$. El mateix passa amb: $\overline{AF^\prime}+\overline{A^\prime F^\prime}=\overline{AF^\prime}+\overline{F^\prime A^\prime}= \overline{A A^\prime}$

Per tant, si posem això a l'expressió de dalt, trobem que la distància entre els punts $A$ i $A^\prime$ és:

$$d(A A^\prime)=2a$$

Podem fer un procediment anàleg pels punts $B$ i $B^\prime$ i obtindrem:

$$d(B B^\prime)=2b$$

D'aquí es dedueix també que l'excentricitat d'una el.lipse és un nombre entre $0$ i $1$, ja que $c<a$:

$$0<e=\frac{c}{a}<1$$

Relació entre els paràmetres $a$, $b$ i $c$ d'una el.lipse

Si ens fixem una mica més en detall amb l'el.lipse podem veure que:

• Com que el punt $B$ pertany a l'el.lipse compleix: $\overline{BF^\prime}+\overline{BF}=2a\Rightarrow BF^\prime=BF=a$

• Si ens fixem en l'eix menor: $\overline{B B^\prime}=2b \Rightarrow \overline{O B^\prime}=\overline{OB}=b$

Com que $a$, $b$ i $c$ formen un triangle rectangle es relacionen a través del Teorema de Pitàgores:

$$a^2=b^2+c^2$$

Equació reduïda de l'el.lipse

Considerem una el.lipse centrada en l'origen de coordenades i amb els seus eixos coincidents amb els eixos cartesians, com la del dibuixa anterior. Si $P(x,y)$ és un punt que pertany a l'el.lipse i $F'(-c,0)$ i $F(c,0)$ són els focus de l'el.lipse es compleix que:

$$\left.\begin{aligned} d(P,F)+d(P,F^\prime)&=2a\\ d(P,F)=|\vec{PF}|=\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\ d(P,F^\prime)=|\vec{PF^\prime}|=\sqrt{(x+c)^2+y^2} \end{aligned} \right\} \sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$$

Deixem un radical en una banda i elevem al quadrat a banda i banda i operem:

$$\begin{align} \Big(\sqrt{(x-c)^2+y^2} \Big)^2&=\Big(2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2} \Big)^2 \\ (x-c)^2+y^2&=4a^2+(x+c)^2+y^2-4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}\\ 4a \sqrt{(x+c)^2+y^2}&=4a^2+x^2+c^2+2xc-x^2-c^2+2xc\\ 4a \sqrt{(x+c)^2+y^2}&=4a^2+4xc\\ \Big( a \sqrt{(x+c)^2+y^2}\Big)^2&=(a^2+xc)^2\\ a^2 \Big( (x+c)^2+y^2 \Big)&=a^4+x^2c^2+2a^2 xc\\ a^2 \Big( x^2+c^2+2xc+y^2 \Big)&=a^4+x^2c^2+2a^2 xc\\ a^2x^2+a^2c^2+2a^2xc+a^2y^2&=a^4+x^2c^2+2a^2xc\\ (a^2-c^2)x^2+a^2y^2&=a^2(a^2-c^2) \end{align}$$

Com que es compleix $a^2=b^2+c^2$, llavors l'expressió anterior es transforma:

$$b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$$

Si dividim a banda i banda per $a^2b^2$:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Si l'eix focal està situat sobre l'eix de les ordenades, les coordenades dels focus són $F(0,c)$ i $F^\prime(0,-c)$ i l'equació esdevé:

$$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$$

Equació d'una el.lipse amb eixos paral.lels als eixos de coordenades

Igual que passava amb el cas de la paràbola, podem escriure l'equació d'una el.lipse amb eixos paral.lels als eixos d'ordenades i centre el punt $C(x_0,y_0)$. Llavors aplicarem una translació igual que fèiem abans:

$$\begin{align} \frac{(x-x_o)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}&=1 \text{ Eix focal paral.lel a l'eix d'abscisses}\\ \frac{(x-x_o)^2}{b^2}+\frac{(y-y_0)^2}{a^2}&=1 \text{ Eix focal paral.lel a l'eix d'ordenades} \end{align}$$

L'hipèrbola

L'hipèrbola és el lloc geomètric format pel conjunt de punts del pla que la diferència entre les distàncies d'aquest punt a dos punts fixos anomenats focus és constant i igual a $2a$.

La hipèrbola té els elements següents:

• Focus de la hipèrbola: són els punts $F$ i $F^\prime$. La distància entre els 2 focus s'anomena $2c$.
• Vèrtexs de la hipèrbola: els punts $A$ i $A^\prime$. La distància entre els vèrtexs és $2a$.
• Eix real: recta que uneix els punts $A$ i $A^\prime$.
• Eix focal: és la recta que uneix els punts $F$ i $F^\prime$.
• Eix imaginari: mediatriu del segment $\overline{FF^\prime}$.
• Centre $O$: punt mitjà del segment $\overline{FF^\prime}$.
• Excentricitat: $e=\frac{c}{a}$. Com que mirant el dibuix $c>a \Rightarrow e>1$.

Equació reduïda d'una hipèrbola

Anem a trobar com hem fet fins ara l'equació d'una hipèrbola amb centre l'origen de coordenades, eix focal l'eix de les abscisses i eix imaginari l'eix de les ordenades. Si $P(x,y)$ és un punt que pertany a la hipèrbola i $F'(-c,0)$ i $F(c,0)$ són els focus es compleix que:

$$\left.\begin{aligned} d(P,F^\prime)-d(P,F)&=2a\\ d(P,F^\prime)=|\vec{PF^\prime}|=\sqrt{(x+c)^2+y^2}\\ d(P,F)=|\vec{PF}|=\sqrt{(x-c)^2+y^2} \end{aligned} \right\} \sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a$$

(En aquest cas hem exigit que $d(P,F^\prime)-d(P,F)=2a$, però obtindríem el mateix resultat si exigim que $d(P,F)-d(P,F^\prime)=2a$)

Deixem un radical en una banda i elevem al quadrat a banda i banda i operem:

$$\begin{align} \Big(\sqrt{(x+c)^2+y^2} \Big)^2&=\Big(2a+\sqrt{(x-c)^2+y^2} \Big)^2 \\ (x+c)^2+y^2&=4a^2+(x-c)^2+y^2+4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\ x^2+c^2+2xc&=4a^2+x^2+c^2-2xc+4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\ \Big(4xc-4a^2 \Big)^2&=\Big ( 4a \sqrt{(x-c)^2+y^2}\Big)^2\\ x^2c^2+a^4-2xca^2&=a^2\Big( (x-c)^2+y^2\Big)\\ x^2c^2+a^4-2xca^2&=a^2x^2+a^2c^2-2xca^2+a^2y^2\\ x^2(c^2-a^2)-a^2y^2&=a^2(c^2-a^2) \end{align}$$

Com que es compleix $a^2=b^2+c^2$ (mireu la representació gràfica), llavors l'expressió anterior es transforma:

$$b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2$$

Si dividim a banda i banda per $a^2b^2$:

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

Si l'eix focal està situat sobre l'eix de les ordenades, les coordenades dels focus són $F(0,c)$ i $F^\prime(0,-c)$ i l'equació esdevé:

$$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$$

Assímptotes d'una hipèrbola amb centre l'origen de coordenades

Mireu el gràfic següent:

Hi hem representat dues hipèrboles, en blau la hipèrbola $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ i en negre la hipèrbola $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1$. Si us hi fixeu, cada una d'elles té dues assímptotes tal i com s'indica el dibuix. En general, les hipèrboles amb centre l'origen de coordenades tenen les assímptotes:

• $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow y=\pm\frac{b}{a}x$
• $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\Rightarrow y=\pm\frac{a}{b}x$

Equació d'una hipèrbola amb eixos paral.lels als eixos de coordenades

Igual que passava amb el cas de l'el.lipse, podem escriure l'equació d'una hipèrbola amb eixos paral.lels als eixos d'ordenades i centre el punt $C(x_0,y_0)$. Llavors aplicarem una translació igual que fèiem abans:

$$\begin{align} \frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}&=1 \text{ Eix focal paral.lel a l'eix d'abscisses}\\ \frac{(y-y_0)^2}{a^2}-\frac{(x-x_0)^2}{b^2}&=1 \text{ Eix focal paral.lel a l'eix d'ordenades} \end{align}$$

Excentricitat d'una corba cònica

L'excentricitat és un paràmentre que ens dóna idea del tipus de corba cònica de la qual estem parlant. L'hem definida només per l'el.lipse i la hipèrbola com el quocient: $e=\frac{c}{a}$. Aquest paràmetre ens permet entendre la transició entre una cònica i una altra:

• $e=0$: La cònica té un sol focus del qual equidisten tots els punts. Estem en el cas de la circumferència i el focus n'ès el centre.
• $0<e<1$: El focus es desdobla en 2 i el cercle es deforma per esdevenir una el.lipse. A mida que la distància entre focus creix, augmenta l'excentricitat i l'el.lipse es va allargant.
• $e=1$: En el límit que els dos focus es separen infinitament, l'el.lipse es trenca per un costat i es transforma en una paràbola.
• $e>1$: La paràbola es transforma en dues branques i esdevé una hipèrbola.

Podem veure fàcilment aquesta transició en l'animació següent. L'animació s'ha extret d'aquest enllaç.