Tema 12: Funcions trigonomètriques

La funció sinus

Definició

La funció sinus és aquella funció que a cada nombre real se li associa el valor del sinus de l'angle en radiants:

$$\begin{align} sin:& \mathbb{R} \rightarrow [-1,1] \\ &x \rightarrow y=sin (x)\\ &0 \rightarrow sin(0)=0\\ &\frac{\pi}{2} \rightarrow sin(\frac{\pi}{2})=1\\ &\pi \rightarrow sin(\pi)=0\\ &\frac{3\pi}{2} \rightarrow sin(\frac{3\pi}{2})=-1\\ &.\\ &.\\ &.\\ \end{align}$$

A partir d'aquí ja podem deduir que el domini són tots els nombres reals i el recorregut és l'interval de $-1$ a $1$ ja que el sinus d'un angle està entre aquests dos valors:

$$\begin{align} D_f&=\mathbb{R}\\ R_f&=[-1,1] \end{align}$$

Representació gràfica

Veiem que la representació gràfica dóna lloc a una funció que s'anomena corba sinusoide. És una funció periòdica on $T=2\pi$. Si recordem el que vam aprendre en el Tema 2 podrem entendre moltes coses que passen en aquesta representació:

• $sin (2\pi)=sin(\pi)=0$
• $sin (\frac{\pi}{2})=1$
• Els angles del 1r i del 2n quadrants tenen $sin>0$.
• Els angles del 2n i del 4t quadrants tenen $sin<0$.

Propietats

1. El domini de la funció sinus són tots els nombres reals: $D_{sin(x)}=\mathbb{R}$
2. El recorregut està entre $1$ i $-1$ ja que no hi pot haver cap angle que tingui sinus inferior o superior a aquests valors: $R_{sin(x)}=[-1,1]$
3. És una funció periòdica amb període $T=2\pi$: $sin(x)=sin(x+2k\pi) \mbox{ on } k \in \mathbb{Z}$
4. És contínua en $\mathbb{R}$
5. És creixent en els intervals $(-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi)$, $k \in \mathbb{Z}$
6. És decreixent en els intervals $(\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi)$, $k \in \mathbb{Z}$
7. El sinus d'angles suplementaris és el mateix: $sin(x)=sin(\pi-x)$
8. El sinus dels angles $x$ i $x+\pi$ té signe contrari: $sin(x)=-sin(\pi+x)$
9. El sinus d'angles oposats són oposats: $sin(x)=-sin(-x)$

Exemple 1

Representa en els mateixos eixos de coordenades les funcions $f(x)=sinx$, $g(x)=sin(3x)$, $h(x)=sin(x+\pi)$ i $j(x)=2sin(x)$. Estudia després els aspectes següents:

• La relació entre $f(x)$ i $g(x)$
• La relació entre $f(x)$ i $h(x)$
• La relació entre $j(x)$ i $f(x)$.

Si comparem $f(x)$ i $g(x)$ veiem que el nombre que multiplica la incògnita determina el període: el període s'escurça en aquest factor, o sigui, la segona funció varia 3 vegades més ràpid: en el primer cas, $T=2\pi$ i en el segon $T=\frac{2\pi}{3}$. L'amplitud (la distància entre els màxims i els mínims de la funció) és en ambdós casos la mateixa, o sigui, $2$, ja que el recorregut en les dues funcions és el mateix, $R_f=R_g=[-1,1]$.

En el segon cas, veiem que ambdues funcions són oposades, quan $f$ aconsegueix el màxim, $h$ està en el seu mínim. Això és perquè els signes del sinus de dos angles separats $\pi$ unitats són iguals però de signe contrari. Aquí podem fer una observació més, el fet d'afegir un sumand a la variable $x$ vol dir que:

• En el cas de tenir $sin(x+k)$, $k \in \mathbb{R}^+$, la funció $sin(x)$ es desplaçaria $k$ unitats cap a l'esquerra
• En el cas de tenir $sin(x-k)$, $k \in \mathbb{R}^+$, la funció $sin(x)$ es desplaçaria $k$ unitats cap a la dreta

En qualsevol cas les funcions mantenen l'amplitud (el recorregut és el mateix) i el període.

En el tercer cas, el fet de multiplicar la funció $sin(x)$ per $2$ provoca un augment en l'amplitud de la funció: $R_f=[-1,1]$ i $R_j=[-2,2]$. Tot i això, es conserven el període i la posició dels màxims i els mínims.

La funció cosinus

Definició

La funció cosinus és aquella funció que a cada nombre real se li associa el valor del cosinus de l'angle en radiants:

$$\begin{align} cos:& \mathbb{R} \rightarrow [-1,1] \\ &x \rightarrow y=cos (x)\\ &0 \rightarrow cos(0)=1\\ &\frac{\pi}{2} \rightarrow cos(\frac{\pi}{2})=0\\ &\pi \rightarrow cos(\pi)=-1\\ &\frac{3\pi}{2} \rightarrow cos(\frac{3\pi}{2})=0\\ &.\\ &.\\ &.\\ \end{align}$$

El seu domini i el seu recorregut són els mateixos que la funció sinus:

$$\begin{align} D_f&=\mathbb{R}\\ R_f&=[-1,1] \end{align}$$

Representació gràfica

Si mireu el gràfic es pot veure que la funció sinus i la cosinus són molt iguals. De fet, la funció cosinus és igual que la funció sinus (en verd clar) però desplaçada $\frac{\pi}{2}$ unitats cap a la dreta.

D'aquí també podem deduir que:

• $cos (2\pi)=-cos(\pi)=1$
• $cos (\frac{\pi}{2})= cos (\frac{3\pi}{2})=0$
• Els angles del 1r i del 4t quadrants tenen $cos>0$.
• Els angles del 2n i del 3r quadrants tenen $cos<0$.

Propietats

1. El domini de la funció cosinus són tots els nombres reals: $D_{cos(x)}=\mathbb{R}$
2. El recorregut està entre $1$ i $-1$, igual que la funció sinus.
3. És una funció periòdica amb període $T=2\pi$: $cos(x)=cos(x+2k\pi) \mbox{ on } k \in \mathbb{Z}$
4. És contínua en $\mathbb{R}$
5. És creixent en els intervals $(\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi)$, $k \in \mathbb{Z}$
6. És decreixent en els intervals $(0+2k\pi,\pi+2k\pi)$, $k \in \mathbb{Z}$
7. Els punts de tall amb l'eix $x$ són $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$
8. És còncava de $(\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi)$, $k \in \mathbb{Z}$
9. És convexa de $(\frac{-\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi)$, $k \in \mathbb{Z}$
10. Els punts d'inflexió coincideixen amb els punts de tall amb l'eix $x$
11. El cosinus d'angles suplementaris són oposats: $cos(x)=-cos(\pi-x)$
12. El cosinus dels angles $x$ i $x+\pi$ té signe contrari: $cos(x)=-cos(\pi+x)$
13. El cosinus d'angles oposats són iguals: $cos(x)=cos(-x)$

La funció tangent

Definició

La funció tangent és aquella funció que a cada nombre real se li associa el valor de la tangent de l'angle en radiants:

$$\begin{align} tan:& \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ &x \rightarrow y=tan (x)\\ &0 \rightarrow tan(0)=\frac{sin 0}{cos 0}=0\\ &\frac{\pi}{2} \rightarrow tan(\frac{\pi}{2})=\nexists \\ &\pi \rightarrow tan(\pi)=0\\ &\frac{3\pi}{2} \rightarrow tan(\frac{3\pi}{2})=\nexists \\ &.\\ &.\\ &.\\ \end{align}$$

Aquí veiem que hi haurà variacions en el domini i el recorregut respecte les funcions sinus i cosinus. Aquells angles que tinguin el sinus igual a zero no tindran la tangent definida, per tant, aquests punts s'han de treure del domini.

$$\begin{align} D_f&=\mathbb{R}-\{\frac{(2k+1)\pi}{2} | k \in \mathbb{Z}\}\\ R_f&=\mathbb{R} \end{align}$$

Representació gràfica

Veiem que la funció tangent també és periòdica però en els punts que no són del domini (els múltiples de $\frac{\pi}{2}$) hi han assímptotes verticals.

Propietats

1. El domini de la funció cosinus són tots els nombres reals menys els múltiples de $\frac{\pi}{2}$: $D_f=\mathbb{R}-\{\frac{(2k+1)\pi}{2} | k \in \mathbb{Z}\}$
2. El recorregut són tots els nombres reals: $R_f=\mathbb{R}$
3. És una funció periòdica amb període $T=\pi$: $tan(x)=tan(x+k\pi) \mbox{ on } k \in \mathbb{Z}$
4. Té discontinuïtats assimptòtiques en els punts $x=\frac{(2k+1)\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$
5. És creixent en tot el seu domini
6. Els punts de tall amb l'eix $x$ són $x=k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$
7. És còncava de $(0+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi)$, $k \in \mathbb{Z}$
8. És convexa de $(\frac{\pi}{2}+k\pi,\pi+k\pi)$, $k \in \mathbb{Z}$
9. Els punts d'inflexió coincideixen amb els punts de tall amb l'eix $x$
10. Les tangents d'angles suplementaris són oposades: $tan(x)=-tan(\pi-x)$
11. Les tangents dels angles $x$ i $x+\pi$ són iguals: $tan(x)=tan(\pi+x)$
12. Les tangents d'angles oposats són oposades: $tan(x)=-tan(-x)$

Les funcions trigonomètriques inverses

En el tema 9 vam veure que una funció tenia inversa només quan aquesta era bijectiva. És evident que les funcions trigonomètriques que hem estudiat no són bijectives, perquè si tracem una línia horitzontal a les seves gràfiques, aquesta talla en més d'un punt: per una $y$ donada existeix més d'una $x$. Per tant, caldrà aplicar algun truc per trobar les funcions inverses de les trigonomètriques. Per fer-ho, restringirem el càlcul de la funció inversa en un interval del domini, on la funció sigui bijectiva.

La funció arc sinus

Definició

Abans de definir la funció $arcsin (x)$ o $sin^{-1}(x)$, definim la funció sinus restringida com aquella funció que compleix:

$$\begin{align} sin:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] & \rightarrow [-1,1] \\ x &\rightarrow y=sin (x) \end{align}$$

Veiem que hem restringit el domini de la funció a l'interval $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ i el recorregut continua essent el mateix que la funció sinus complerta. En aquest interval de $x$ la funció sí que és bijectiva, per tant, podrem calcular-ne la inversa.

Definim la funció $arcsin (x)$ o $sin^{-1}(x)$ com aquella funció que a cada nombre entre $-1$ i $1$ li fa correspondre el seu angle en radiants:

$$\begin{align} arcsin:[-1,1] & \rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \\ x & \rightarrow y=arcsin (x) \leftrightarrow x=sin (y)\\ 0 & \rightarrow 0\\ \frac{1}{2} & \rightarrow \frac{\pi}{6}(30^o) \end{align}$$

Representació gràfica

Veiem que la funció $arcsin (x)$ és contínua i creixent en tot el seu domini. També és simètrica respecte la bisectriu del 1r i 3r quadrants amb la funció $sin (x)$, la seva inversa.

La funció arc cosinus

Definició

Abans de definir la funció $arccos (x)$ o $cos^{-1}(x)$, definim la funció cosinus restringida com aquella funció que compleix:

$$\begin{align} cos:[0,\pi] & \rightarrow [-1,1] \\ x &\rightarrow y=cos (x) \end{align}$$

Veiem que hem restringit el domini de la funció a l'interval $[0,\pi]$ i el recorregut continua essent el mateix que la funció cosinus complerta. En aquest interval de $x$ la funció sí que és bijectiva, per tant, podrem calcular-ne la inversa.

Definim la funció $arccos (x)$ o $cos^{-1}(x)$ com aquella funció que a cada nombre entre $-1$ i $1$ li fa correspondre el seu angle en radiants:

$$\begin{align} arccos:[-1,1] & \rightarrow [0,\pi] \\ x & \rightarrow y=arccos (x) \leftrightarrow x=cos (y)\\ 0 & \rightarrow \frac{\pi}{2}\\ \frac{1}{2} & \rightarrow \frac{\pi}{6}(60^o) \end{align}$$

Representació gràfica

Veiem que la funció $arccos (x)$ és contínua i decreixent en tot el seu domini. També és simètrica respecte la bisectriu del 1r i 3r quadrants amb la funció $cos (x)$, la seva inversa.

La funció arc tangent

Abans de definir la funció $arctan (x)$ o $tan^{-1}(x)$, definim la funció tangent restringida com aquella funció que compleix:

$$\begin{align} tan:(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) & \rightarrow \mathbb{R} \\ x &\rightarrow y=tan (x) \end{align}$$

Veiem que hem restringit el domini de la funció a l'interval $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ i el recorregut continua essent el mateix que la funció tangent complerta. En aquest interval de $x$ la funció sí que és bijectiva, per tant, podrem calcular-ne la inversa.

Definim la funció $arctan (x)$ o $tan^{-1}(x)$ com aquella funció que a cada nombre real li fa correspondre el seu angle en radiants:

$$\begin{align} arctan:\mathbb{R} & \rightarrow (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \\ x & \rightarrow y=arctan (x) \leftrightarrow x=tan (y)\\ 0 & \rightarrow 0\\ 1 & \rightarrow \frac{\pi}{4}(45^o) \end{align}$$

El domini d'aquesta funció són tots els nombres reals i el recorregut està restringit a l'interval $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$.

Representació gràfica

La funció $arctan (x)$ és contínua i creixent en tot el seu domini ($D=\mathbb{R}$). ÉS còncava de $(\infty,0)$ i convexa de $(0,+\infty)$. No té màxims ni mínims, i té un punt d'inflexió en el $(0,0)$ que és l'únic punt de tall amb els eixos. També té dues assímptotes horitzontals:

$$\begin{align} \lim_{x\to - \infty} arctan(x)&=-\frac{\pi}{2} \rightarrow \mbox{ Assímptota horitzontal en } y=-\frac{\pi}{2} \mbox{ cap a } - \infty\\ \lim_{x\to + \infty} arctan(x)&=\frac{\pi}{2} \rightarrow \mbox{ Assímptota horitzontal en } y=\frac{\pi}{2} \mbox{ cap a } + \infty\\ \end{align}$$