Tema 3: Nombres complexos

Nombres imaginaris

Què passa quan volem resoldre equacions del tipus: $x^2+4=0$? Fins ara dèiem que aquestes equacions no tenien solució, perquè l'arrel quadrada d'un nombre negatiu no existeix. De fet, el que volíem dir amb això és que en el conjunt dels nombres reals, les arrels negatives no estan definides.

És per això que algú va pensar de construir un conjunt de nombres on es puguin calcular arrels quadrades negatives i així ampliar el conjunt dels nombres reals. Aquí és doncs on apareixen els nombres imaginaris.

Pensem doncs en l'equació més senzilla de segon grau que dóna com a resultat l'arrel quadrada d'un nombre negatiu:

$$x^2+1=0 \Rightarrow x^2=-1 \Rightarrow x= \pm \sqrt{-1}$$

Sabem perfectament que $\sqrt{-1}$ no és un nombre real. Diem que $\sqrt{-1}$ és un nombre imaginari i el definim amb la lletra $i$:

$$i=\sqrt{-1} \Rightarrow i^2=-1$$

Exemple 1

Com solucionem doncs l'equació: $x^2+4=0$?

$$x^2+4=0 \Rightarrow x^2=-4 \Rightarrow x= \pm \sqrt{-4} \Rightarrow x=\pm \sqrt{4\cdot (-1)} \Rightarrow x=\pm \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1} \Rightarrow x= \pm 2i$$

El conjunt dels nombres complexos

Anem a veure ara quina seria la solució de l'equació $x^2+2x+5=0$:

$$x=\frac{-2 \pm \sqrt{4-4 \cdot 1 \cdot 5}}{2}=\frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2}=\frac{-2 \pm \sqrt{(-1)\cdot 16}}{2}=\frac{-2 \pm \sqrt{-1}\cdot \sqrt{16}}{2}=\frac{-2 \pm 4i}{2}= -1 \pm 2i$$

Veiem que la solució d'aquesta equació té una part real ($-1$) i una part imaginària ($\pm 2i$). Així és doncs com es defineix un nombre complex:

Un nombre complex té la forma $a+bi$, ($a,b \in \mathbb{R}$) on $a$ és la part real i $b$ la part imaginària. El Per tant, també podem dir que els nombres reals són nombres complexos els quals tenen part imaginària=0 .

Aquesta forma s'anomena forma binòmica d'un nombre complex.

Complex conjugat

Podem buscar també el complex conjugat d'un nombre $z=a+bi$. Es defineix com: $\bar{z}=a-bi$.

Invers d'un nombre complex

L'invers d'un nombre complex $z$ és aquell nombre $z^{-1}$ que compleix:

$$z\cdot z^{-1}=1\rightarrow z^{-1}=\frac{1}{z}$$

Després de veure la divisió de nombres complexos serà senzill calcular l'invers d'un nombre complex.

Operacions amb complexos

Suma i diferència

Per sumar dos nombres complexos sumem les parts reals i les parts imaginàries. Per restar dos nombres complexos, al primer li sumem l'oposat de l'altre.

Producte

Per efectuar el producte apliquem la propietat distributiva.

Exemple 2

Siguin $z_1=3+5i$ i $z_2=2-3i$ dos nombres complexos. Calcula'n la suma, la diferència i el producte.

$$\begin{align} z_1+z_2 &=3+5i+2-3i=5+2i \\ z_1-z_2 &=3+5i-(2-3i)=3+5i-2+3i=1+8i \\ z_1 \cdot z_2 &=(3+5i)\cdot(2-3i)= 6-9i+10i-15i^2=6+i-15 \cdot (-1)=21+i \\ \end{align}$$

D'aquesta manera, ja veieu que si multipliquem dos imaginaris purs (part real=0) obtenim un nombre real: $5i \cdot 9i=45 i^2=-45$.

Una altra cosa a destacar és que l'element neutre del producte (aquell nombre complex que multiplicant-lo per qualsevol nombre dóna el nombre mateix) és z_0=1+0i, o sigui, el nombre amb part real $1$ i part imaginària $0$.

Quocient

Per dividir dos nombres complexos només cal tenir en compte quelcom semblant al que fèiem quan teníem expressions del tipus $\frac{1}{\sqrt{2}+1}$, que les racionalitzàvem multiplicant pel conjugat. Si dividim els dos nombres complexos de l'exemple 2 obtenim:

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{3+5i}{2-3i}= \frac{3+5i}{2-3i}\cdot \frac{2+3i}{2+3i}=\frac{6+9i+10i-15}{2^2-(3i)^2}=\frac{-9+19i}{4-9(-1)}=\frac{-9+19i}{13}=\frac{-9}{13}+\frac{19}{13}i$$

Potenciació

Per elevar un nombre complex a una potència, farem:

$$z^n=(a+bi)^n$$

on $n \in \mathbb{N}$. Llavors per desenvolupar l'expressió ens caldrà aplicar la fórmula del binomi de Newton.

Potències de $i$

Ja hem vist anteriorment que $i^2=-1$. Anem a veure què valen altres potències successives de $i$.

$$\begin{align} i^0&=1\\ i^1&=i\\ i^2&=-1\\ i^3&=i^2 \cdot i= -1 \cdot i= -i\\ i^4&=i^2 \cdot i^2=(-1)\cdot(-1)=1\\ i^5&=i \cdot i^4=i\cdot(-1)=-i\\ \end{align}$$

I així successivament. Cada 4 potències es va repetint la seqüència: $1$, $i$, $-1$, $-i$.

Representació dels nombres complexos en el pla

Tal i com hem vist els nombres complexos tenen dues components, la part real i la part imaginària. És per això que no els podem representar a la recta, com els nombres reals, sinó que necessitem el pla. A l'eix de les abcisses hi posem la part real i a l'eix de les ordenades la part imaginària. Un nombre complex $z=a+bi$ el representarem en el pla com el vector $(a,b)$.

Exemple 3

Representa en el pla el nombre complex $z=3+5i$.

Forma polar d'un nombre complex

Quan representàvem els nombres complexos en el pla vèiem que els podíem definir com un vector de components $(a,b)$ i un angle amb l'eix x:

Per tant, el nombre complex també quedaria definit per el mòdul d'aquest vector i l'angle que forma amb l'eix x. Aquesta és la forma polar d'un nombre complex:

$$\begin{align} z&=r_{\alpha}\\ r&=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} \\ \alpha&=arctan(\frac{b}{a})\\ 0 &\le \alpha \le 2\pi\\ \end{align}$$

Cal afegir, que si coneixem els signes de $a$ i $b$ podem determinar unívocament l'angle:

$$\begin{align} a>0, b>0 \Rightarrow 1 Q\\ a<0, b>0 \Rightarrow 2 Q\\ a<0, b<0 \Rightarrow 3 Q\\ a>0, b<0 \Rightarrow 4 Q\\ \end{align}$$

Per passar de forma polar a forma binòmica ens hem de fixar en el mateix dibuix:

$$\begin{align} b&=r sin \alpha\\ a&=r cos \alpha\\ \end{align}$$

Forma trigonomètrica

Un cop hem trobat la forma polar, també tenim la forma trigonoomètrica. Si ens fixem en l'expressió anterior i la substituïm a la forma binòmica de nombre complex tenim:

$$z=a+bi=r cos \alpha+ r sin \alpha \cdot i=r(cos \alpha+i sin \alpha)$$

Operacions en forma polar

Multiplicació

Per multiplicar dos nombres complexos en forma polar, es multipliquen els mòduls i se sumen els arguments. Considerem els nombre complexos: $z_1=r_{\alpha}$ i $z_2=s_{\beta}$. Anem a fer el producte. Per multiplicar els termes els expressarem en forma trigonomètrica:

$$\begin{align} z_1 \cdot z_2&=r_{\alpha}\cdot s_{\beta}= r(cos \alpha+i sin \alpha)\cdot s(cos \beta+i sin \beta)=\\ &=r\cdot s (cos \alpha cos \beta+i cos \alpha sin \beta + i sin \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta)= \\ &=r\cdot s \big[ (cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta) +i (cos \alpha sin \beta + sin \alpha cos \beta) \big] \\ &=r\cdot s \big[ (cos (\alpha + \beta) +i sin ( \alpha + \beta) \big] \\ \end{align}$$

Això últim ho podem expressar com un nou nombre complex, el nombre complex producte, de mòdul $r\cdot s$ i argument $\alpha+ \beta$. Per tant, per multiplicar dos nombres complexos en forma polar cal multiplicar els mòduls i sumar els arguments:

$$z_1 \cdot z_2= (r \cdot s)_{\alpha+\beta}$$

Divisió

De la mateixa manera es pot demostrar que per dividir dos nombres complexos en forma polar només cal dividir els mòduls i restar els arguments:

$$\frac{z_1}{z_2}= \big(\frac{r}{s}\big)_{\alpha-\beta}$$

Potenciació

Fer elevar un nombre complex $z=r_\alpha$ a un exponent $n$ equival a multiplicar aquest nombre $n$ vegades per ell mateix:

$$z^n=z\cdot z\cdot z\cdot ....z=r_\alpha \cdot r_\alpha \cdot r_\alpha \cdot ...r_\alpha \cdot=(r \cdot r \cdot r \cdot ... r)_{\alpha + \alpha + \alpha + ... \alpha}=r^{n}_{n \alpha}$$

Per tant, per elevar un nombre complex expressat en forma polar a una potència $n$ només cal elevar el mòdul a aquesta potència i multiplicar l'argument per $n$.

Per tant, és molt més fàcil calcular les potències dels nombres complexos fent servir la forma polar.

Radicació

La radicació és l'operació inversa de la potenciació. Volem calcular l'arrel $n$-èssima d'un nombre complex: $\sqrt[n]{r_{\alpha}}$. Definim $s_{\beta}$ com aquesta arrel $n$-èssima. Es compleix per tant:

$$s_{\beta} \equiv \sqrt[n]{r_{\alpha}}\Rightarrow r_{\alpha}=(s_\beta)^n \Rightarrow r_{\alpha}=s^n_{n \beta}$$

Anem a resoldre ara aquesta equació. Igualem per separat els mòduls i els arguments dels 2 nombres complexos:

$$s_{\beta} \Rightarrow \begin{cases} r=s^n &\rightarrow s=\sqrt[n]{r} \\ n \beta= \alpha + 360 k & \beta= \frac{\alpha+360k}{n} & k \in \mathbb{N} \end{cases}$$

Veurem que per cada nombre complex, hi ha $n$ arrels. Aquestes arrels són nombres complexos d'igual mòdul però diferent angle. Veiem-ne un exemple.

Exemple 4

Troba les arrels quartes del nombre $z=3+4i$.

Primer de tot el passarem a forma polar:

$$z=3+4i\Rightarrow \begin{cases} r&=\sqrt{3^2+4^2}=5 \\ \alpha &= arctan(\frac{4}{3})=53.13º \end{cases}$$

Per tant, el mòdul de les arrels quartes de $z$ serà: $r=\sqrt[4]{5}$ i els arguments de les arrels vindran donats per: $\beta=\frac{53.13+360k}{4}$, $k=0,1,2,3$. Notem que per $k=4$ tornem a obtenir el mateix angle que per $k=0$.

Així doncs, les arrels quartes de $z+4i$ són: $\sqrt[4]{5}_{13.28}$, $\sqrt[4]{5}_{103.28}$, $\sqrt[4]{5}_{193.28}$, $\sqrt[4]{5}_{283.28}$.

Es podria comprovar que elevant aquests nombres a 4 ens dóna el nombre original.

Exemple 5

Resol l'equació $x^7+64x=0$ en el conjunt dels nombres complexos.

Primer de tot traurem factor comú:

$$x(x^6+64)=0 \begin{cases} x&=0 \\ x^6 &= -64 \end{cases}$$

Veiem que la primera solució és un nombre real i la segona donarà lloc a un nombre complex. Hem de trobar les arrels sisenes del nombre real $-64$, que expressat com a complex i en forma binòmica és $-64+0i$.

Primer de tot ens caldrà passar aquest nombre a forma polar:

$$\begin{align} r&=\sqrt{(-64)^2+0}\\ \alpha&=arctan\big(\frac{0}{-64}\big)=180º \end{align}$$

Fixem-nos que hi ha 2 angles que tenen tangent $0$, $0º$ i $180º$, però com que el nombre complex $z=-64+0i$ està en el 2n quadrant, l'angle ha de ser necessàriament $180º$.

Per tant, hem de trobar les 6 arrels de $z=64_{180º}$. El mòdul d'aquestes arrels vindrà donat per:

$$\sqrt[6]{64}=2$$

i els angles vindran definits per l'expressió:

$$\alpha=\frac{180+k\cdot 360}{6}, k=0,1,2,3,4,5$$

Si ho calculem, obtenim com a resultat:

$$2_{30^º}, 2_{90ª}, 2_{150º}, 2_{180º}, 2_{210º}, 2_{270º}, 2_{330^º}$$

Per tant, l'equació $x^7+64x=0$ té 7 solucions de les quals una és real ($x=0$) i les altres 6 complexes.

Cal afegir que si representéssim gràficament les 6 arrels complexes al pla complex obtindríem un hexàgon regular.

També es podria comprovar que elevant cadascun d'aquests nombres a $6$ s'obté el nombre original, $z=64_{180º}$.